交易费用对套利利润的影响及模型扩展 [page::0][page::1][page::2]

• 引入非零交易费用和离散的泊松区块生成时间，以解决连续监控套利者在存在费用时套利利润为零的模型病态问题。

- 构建套利价格偏离（mispricing）过程为带有反射跳跃的跳扩散马尔可夫过程，解析求得其稳态分布，刻画套利发生的概率与费用、区块时间、价格波动性的关系。

• 确定套利利润的瞬时预期速率的半解析形式，并在快速区块极限下得到显式闭式解。

套利交易发生概率与费用、区块时间及波动性关系 [page::11][page::12][page::13]

| 平均区块时间 $\Delta t$ | 费用1bp | 费用5bp | 费用10bp | 费用30bp | 费用100bp |
|------------------------|---------|---------|----------|----------|-----------|
| 10分钟 | 96.7% | 85.5% | 74.7% | 49.6% | 22.8% |
| 2分钟 | 92.9% | 72.5% | 56.9% | 30.5% | 11.6% |
| 12秒 | 80.7% | 45.6% | 29.5% | 12.3% | 4.0% |
| 2秒 | 63.0% | 25.4% | 14.5% | 5.4% | 1.7% |
| 50毫秒 | 21.2% | 5.1% | 2.6% | 0.9% | 0.3% |

• 套利交易概率 $\mathsf{P}{\mathrm{trade}}=\frac{1}{1+\sqrt{2\lambda}\gamma/\sigma}$，随费用$\gamma$增加和区块频率提高而下降，波动率$\sigma$升高套利概率升高。

- 图示展示概率随费用变化单调下降，典型套利误差标准差随费用线性上升。

快速区块极限套利利润与费用拆解 [page::16][page::17][page::23][page::24]

• 快速区块时极限，套利利润$\overline{\mathsf{ARB}} \approx \overline{\mathsf{LVR}} \times \mathsf{P}{\mathrm{trade}}$，其中周转损失$\overline{\mathsf{LVR}}$为无费用极限套利利润。

- 手续费和套利利润构成总周转成本，带固定汽油费时，汽油费项$\overline{\mathsf{GAS}}$转移LP亏损的一部分，且随汽油费降低LP亏损减少。

• 实证验证及网友结论支持区块时间缩短有助于降低套利损失，汽油费是组成LP亏损重要一环。

汽油费用影响模型扩展及实证分析 [page::19][page::20][page::21]

• 通过调整套利触发边界，考虑固定汽油费作为额外门槛，使得套利交易频率降低但单笔利润增大。

- 解析得到了具有汽油费的稳态价格偏离分布，显示新增无交易区间和不同区间内分布形状变化。

• 分析显示，在快速块极限下所有的LP信息损失资金最终流入验证者的汽油费账户。

- 实例基于CPMM模型估计汽油费对套利边界的具体影响，图示汽油费边界随价格变动不大。

交易策略、费用和区块时间的具体数学表达及定理保证 [page::6][page::8][page::14][page::15]

• 详细定义AMM状态空间、交易费用结构及诱导的套利者最优交易策略。

- 证明价格偏离稳态分布存在唯一性，为解的指数和均匀分布拼接形式。

• 定理提供套利利润和费用的瞬时速率的半封闭解，进一步导出快速区块时的渐近性质。

- CPMM模型作为具体示例给出显式套利利润和费用强度解析表达及其逼近误差。

AMM设计与区块链架构实践启示 [page::24][page::25][page::26][page::27]

• 提示设计更快区块链和较低汽油费可直接减少套利者利润，保护LP收益。

- 竞争区块连续控制可能通过延长“有效区块时间”增加套利利润动机，为共识机制设计敲警钟。

• AMM设计者需对费用率权衡价格准确性和套利损失，提供完整费率-误差权衡分析图。

- 结合噪声交易者与套利者的模型框架为LP净收益提供解释，指导最优费率及流动性配置策略。

量化因子或量化策略相关内容

• 报告属于AMM机制解析与套利利润结构研究，不涉及量化因子构建或具体量化交易策略开发。

深度详尽分析报告：《Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees》

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1. 元数据与概览 (引言与报告概览)

• 标题：Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fees

- 作者：Jason Milionis（哥伦比亚大学计算机科学系）、Ciamac C. Moallemi（哥伦比亚大学商学院）、Tim Roughgarden（哥伦比亚大学计算机科学系）

• 发布日期：初版2023年2月6日，当前版本2025年7月23日

- 主题：自动做市商（AMM）模型中，交易费用对套利者利润及流动性提供者（LP）逆向选择成本的影响

• 核心论点：本报告扩展Milionis等人（2022年）提出的两资产AMM模型，引入交易费用和区块的离散生成时间（泊松过程），推导出含费用情况下的套利利润的精确闭式解。报告发现，手续费会降低套利利润，且更快的区块产生速度可降低LP的损失。引入固定的Gas费后，降低Gas费亦能减少LP损失。

- 主要信息传递：手续费导致套利利润的缩放，且区块时间离散性质至关重要，快速区块链结构能有效“减少”套利者侵蚀流动性的程度；Gas费用也在其中扮演收益转移角色，将LP信息损失部分传递给验证者。

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2. 逐节深度解读

2.1 摘要与引言（第0-1页）

关键论点：

• 传统微观AMM模型中LP损失通过Loss Versus Rebalancing（LVR）度量，等价于套利利润。

- 以往模型忽略交易费用，导致对套利利润估计偏高。

• 本文引入交易费用\(\gamma \geq 0\)并模拟区块生成的离散性（泊松过程，参数\(\lambda\)），使套利者只能在离散时刻交易。

- 发现套利利润随着手续费的存在，实际上表现为在无摩擦套利利润基础上，根据套利者实际有利可图的区块比例进行缩放。

• 区块生成的时间间隔\(\Delta t = \lambda^{-1}\)不可忽视，连续监控时套利利润会被手续费侵蚀至近乎为零。

推理与假设：

• 套利者“贪心”（myopic）行为假设，即套利者只交换最即时利润，避免竞争中的机会流失。

- 价格随几何布朗运动波动。

• 区块生成时间为Poisson过程，等价于套利者离散抵达。

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2.2 模型设定（第1-2页）

• 将Milionis等（2022）模型加以扩展，考虑两资产AMM（风险资产\(x\)与记账资产\(y\)），价格进程为 \(\frac{dPt}{Pt} = \mu dt + \sigma dBt\)，满足几何布朗运动。

- AMM由恒定函数做市商（CFMM）定义于\(\{(x,y): f(x,y)=L\}\)的可行储备集合，LP流动性由\(f\)定义。

• 加入了买/卖方向上的不同交易手续费：买时费率\(\gamma+\)，卖时\(\gamma-\)，手续费以输入资产计收。

- 套利者只能在区块生成时刻（泊松到达）对AMM发起交易：
- 当套利者抵达，套利者观察市场价格\(Pt\)与AMM隐含价格\(\tilde{P}t\)，计算错价（log mispricing）\(zt = \log(Pt / \tilde{P}t)\)。
- 套利者只能在错价超出手续费定义的不交易区间\([- \gamma-, + \gamma+]\)时交易，交易使错价跳回边界点，驱动AMM价格接近市场价格。

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2.3 主要数学结果（第2-4页）

• 定理1：错价进程\(zt\)是跳跃扩散（jump-diffusion）过程，且具有唯一的平稳分布，分布密度在非交易区间内均匀分布，区间外呈指数衰减尾部。明确表达了错价在交易区间和非交易区间的概率分布形式。

- 交易概率（套利可行块数占比）为：
\[
\mathsf{P}{\mathsf{trade}} = \frac{1}{1 + \sqrt{2\lambda} \gamma / \sigma}
\]
这个比例随着费率增加、价格波动降低或区块频率提高而减少。

• 定理2：套利者利润率\(\overline{\mathsf{ARB}}\)与费率、区块间隔、AMM边际流动性相关，具体表述为积分表达式，某些AMM（如恒定乘积做市商）可获得闭式解析式。

- 定理3（高速区块极限）：当\(\lambda \to \infty\)时，套利利润按形式接近
\[
\overline{\mathsf{ARB}} \approx \overline{\mathsf{LVR}} \times \mathsf{P}{\mathsf{trade}}
\]
其中\(\overline{\mathsf{LVR}}\)为无费用连续监控情况下的套利利润。

• 重要结论表明，随着区块缩短（\(\Delta t \downarrow 0\)），套利利润会以区块间隔的平方根速率下降，即快速链减少了套利损失。

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2.4 含Gas费用扩展（第18-24页）

• Gas费用作为固定交易成本加入模型，表现为在错价临界区间的边界向外推挤，减小套利机会。

- Gas费与手续费同时存在下，错价的停牌区间增宽，套利者到访时的盈利区域减少，但每次交易利润提升（交易更稀疏但单次赚额更高）。

• 推导了新的错价平稳分布，区间中的密度不再均匀而呈梯形形态，更多区间不发生套利交易。

- 定理6--7给出含Gas费下的套利利润和手续费的渐近表达，曲线表现仍然是随着链速加快（块间隔减小），套利利润和费用分布变化。

• Corollary 3-4表明随着区块速率极限趋向无穷，套利利润趋近于0，LP损失主要体现为Gas费用支付给验证者。Gas费用不为零时，LP损失长期存在于Gas费用，Gas费用降低，LP损失降低。

- 表2（第25页）直观呈现不同参数下，套利利润和Gas费用对整体损失的占比，辅助理解不同设计参数对LP绩效影响。

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2.5 相关文献回顾（第4-6页）

• 报告扎根于广泛AMM文献，继承了Milionis等人（2022）LVR框架并补充了费用及区块离散特征。

- 与Nezlobin和Tassy（2025）最新工作比较，本文在AMM模型通用性和收费机制建模上更为全面，后者则涵盖更广泛的区块时间分布。

• 讨论了实际中心化交易所-去中心化交易所套利（MEV）问题，及本模型在区块时间调控上启发的实践参考价值。

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2.6 其他辅助分析与证明（附录B-H，约第29-46页）

• 附录系统地给出了错价过程生成器、稳态分布、套利者交易策略、利润率表达、带Gas费修正模型的推导证明。

- 重要技术方法包含Foster-Lyapunov准则证明平稳性，Laplace变换方法求解稳态密度与套利利润表达。

• 也包含非对称情形（含漂移）下错价的推导，确认对称结果为简化特例。

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3. 图表深度解读

图1 (第7页)

• 描述CFMM中储备状态空间结构及价格-储备之间的对应关系。

- 左图说明交易操作过程：参与者通过向池中注入或取出资产，实现储备点在\(f(x,y)=L\)曲线上的迁移。

• 右图展示了价格作为切线斜率与储备状态的对偶联系，作为后续套利策略计算基础。

表1 (第12页)

| \(\Delta t\) | 1 bp 5 bp | 10 bp | 30 bp | 100 bp |
|--------------|------------|------------|------------|---------|
| 10 min | 96.7% | 85.5% | 74.7% 49.6% | 22.8% |
| 2 min | 92.9% | 72.5% | 56.9% 30.5% | 11.6% |
| 12 sec | 80.7% | 45.6% | 29.5% 12.3% | 4.0% |
| 2 sec | 63.0% | 25.4% | 14.5% 5.4% | 1.7% |
| 50 msec | 21.2% | 5.1% | 2.6% 0.9% | 0.3% |

• 汇报不同费率\(\gamma\)和区块间隔\(\Delta t\)条件下，套利机会区块占比\(\mathsf{P}{\mathsf{trade}}\)。

- 明显显示手续费越大或区块时间越短，套利区块比例迅速下降，验证了理论关键结果。

图3 (第12页)

• 错价稳态密度示意，显示交易区间（中间矩形）与交易区间外指数衰减尾。

- 直观体现错价被手续费限幅，套利者仅在区间外执行交易。

图4(a)(b) (第13页)

• 4a: \(\mathsf{P}{\mathrm{trade}}\)与手续费关系曲线，趋势递减，接近分析中给出的公式。

- 4b: 错价标准差\(\sigmaz\)随手续费增加而增加，费用越大，错价范围越宽松，定价精度降低。

图5 (第16页)

• (a) 展示CPMM下单位流动性套利利润密度，手续费越大，套利利润明显下降。

- (b) 误差曲线显示估算套利利润\(\approx \overline{\mathsf{LVR}} \times \mathsf{P}{\mathrm{trade}}\)的准确度极高，偏差小于1%。

图6 (第20页)

• 描述考虑Gas费修正后的错价稳态密度。相比图3，多出两个梯形形措区间\[[-\gamma-\delta,-\gamma], [\gamma,\gamma+\delta]\]，进一步扩大无套利区。

- 说明Gas费用如同交易费另一类摩擦，影响套利频率和交易空间。

表2 (第25页)

• 两张表对应不同区块时间、手续费、Gas费情境下的 \(\mathsf{LVR} = \mathsf{ARB} + \mathsf{FEE} + \mathsf{GAS}\)中\(\mathsf{ARB}\)和\(\mathsf{GAS}\)的占比。

- 结果显示Gas费用占比随手续费降低和区块时间缩短而上升，反映Gas费用在LP损失中的重要角色。

图7 (第27页)

• 显示定价误差\((\sigmaz)\)与套利利润比例的权衡边界，手续费越低，定价更精准但套利利润更高，成本更大。

- 体现AMM设计中手续费设定的典型“效率-成本”平衡。

图8 (第46页)

• 示范CPMM情景下Gas费\(\delta\)对应的错价边界\(\bar{\gamma}+\)对价格\(Pt\)的敏感性，发现价格变动约6%时，\(\bar{\gamma}+\)仅变动极小，验证价格状态下界近乎常数假设的合理性。

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4. 估值分析

• 报告无直接传统金融资产估值（如DCF、市盈率等）。

- 估值核心为LP资产的价值函数\(V(P)\)，定义为满足约束的最小化问题（抵消套利后池状态价值）。

• 套利者活动导致LP价值减少，损失度量为LVR（loss versus rebalancing）。

- 利用对\(V(P)\)的一阶、二阶导数性质，结合错价分布，推导套利者套利率和交易手续费率。

• 估值式具体体现为单位资产价值下的套利利润或手续费比例，解析表达式示于CPMM案例，基于流动性函数的一阶导数。

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5. 风险因素评估

• 核心风险：

- 价格进程假定为连续几何布朗运动；实际市场价格可能含跳跃，影响套利机会。
- 区块时间假设为泊松过程，部分链为确定性出块，泊松为近似，偶有偏差。
- 假设套利者“贪心”且竞争完全，现实中可能存在延迟、信息不对称。
- 定价模型假设费用固定或基于交易量比例，Gas费不确定且波动较大。

• 潜在影响：

- 价格跳跃时套利利润可能不降至零，快链优势减弱。
- 区块时间模型偏差可能影响套利利润计算。
- 竞争环境、优先级费用等链上机制变动影响套利频率和大小。

• 缓解：模型通过考察不同参数、费率及区块时间，提供应用指导，帮助设计更优AMM费率和区块参数，尽量减少LP损失。

- 扩展可能：引入价格跳跃模型和非泊松区块时间分布等以提升鲁棒性。

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6. 批判性视角与细微差别

• 优点：

- 完整建模费用和区块离散性的影响，具有理论和实证验证价值。
- 解析清晰，闭式表达，适用广泛AMM结构（不限恒定乘积）。

• 限制：

- 基础模型价格为连续扩散，忽视跳跃，限制对极短时间尺度的适用性。
- Poisson区块时序为便利建模近似，非严格精确。
- “贪心套利者”理想化假设，忽略真实市场中套利策略多样性和信息延迟。
- Gas费假定为固定且独立于价格和流动性，实际中波动且复杂。

• 报告中的内在状态：

- 在费率趋零和区块频率趋无穷的极限中，套利利润趋近LVR，趋零，验证了模型合理性。
- 引入Gas费用模型后，LP损失不再完全转为套利者利润，而是部分转移至验证者，实现了价值转移机制。

• 没有明显矛盾，数学证明严谨，且在非对称定价情况下也有所拓展。

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7. 结论性综合

本报告系统地发展了带有手续费和离散区块时间的AMM套利利润模型，取得了以下深刻发现：

• 套利利润表达具有封闭解，能够定量计算不同手续费、区块间隔、价格波动等参数影响下的套利收益。

- 手续费对套利利润的影响本质上是时间尺度的重新缩放，具体表现为因费率而产生的“无套利区间”，缩减实际发生套利的区块比例\(\mathsf{P}{\mathrm{trade}}\)。

• 区块时间离散性极其关键，在“快速区块”极限下套利利润与块间隔平方根成正比例，说明短区块时间明显减少LP因套利遭受的损失。

- Gas费用进一歩建立了套利被迫交易利润与链基础设施费用转移的联系，显示出LP损失的收益部分转移给验证者，Gas费用降低提升LP收益。

• 模型与实际市场MEV问题紧密相关，且实验数据验证了核心预测（如套利利润与区块时间的平方根关系）。

- 模型在AMM设计层面具指导意义，为手续费设置与区块链架构优化提供理论量化框架：
- 手续费与Gas费需综合考虑，过低手续费易导致高套利损失；
- 快区块链结构利于保护LP，降低交易损失；
- 利用该模型，可辅助确定最佳手续费以平衡噪声交易手续费收入和套利损失。

• 通过一系列详尽的数学证明与数值示例，报告确保了结论的稳健性与可操作性。

表格数据和图形清晰验证了理论推导：

• \(\mathsf{P}_{\mathsf{trade}}\)随手续费提高、区块加速减少，体现套利机会受限。

- 错价标准差随着手续费增加而增加，体现价格准确性与利润之间的权衡。

• 含Gas费模型展示了套利损失在LP和验证者间的动态分配。

- 模型扩展允许假设无对称性或固定Gas费，具高度通用性。

总结而言，该报告为理解AMM中费用与区块时间对套利行为和LP损失关系提供了深入的数学验证与现实指导方案，对于去中心化金融设计者和区块链架构师具有极高价值。

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主要引用页码：

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报告