AMM流动性提供者的损失与费用关系实证 [page::2][page::3]

• LP投资AMM时损失相较于无摩擦市场再平衡的再平衡损失(LVR)与实际获得费用高度相关。

- 30天滚动窗口下，链上数据和模拟交易显示LVR与费用相关系数达90%以上，费用约为LVR的97%~102%。

• 强线性关系为后续理论构建提供实证动机。

AMM模型与风险中性费用结构推导 [page::4][page::5][page::7][page::8]

• 建立AMM流动性池状态空间和交易曲线的数学表述，采用两资产模型。

- 引入连续时间风险中性几何布朗运动价格模型。

• 证明LP的最优投资问题等价于确定一费率函数F，且实现价值过程为鞅。

- 风险中性费用结构等价于以LVR为基准的即时费率函数 $F(px,py) = py \ell(px / p_y)$。

• 该费率函数在所有AMM中具有一致性，涵盖常见CPMM和集中流动性模型。

固定对浮动费用互换合约及隐含波动率理论 [page::10][page::11][page::12][page::13]

• 提出固定对浮动费用互换(Fixed-for-Floating Fee Swap)设计：固定腿为初始支付，浮动腿为流动性通证的费用流。

- 利用该互换价格，构建数字资产的隐含波动率和隐含相关性报价体系。

• 对含稳定币的AMM，证明固定腿价格与隐含波动率之间存在一一对应关系。

- 提供CPMM具体公式，展示隐含波动率和相关性随固定腿价格变化的关系。

• 该工具可为流动性提供者和固定腿投资者风险对冲及投资策略提供机制支持。

费率隐含波动率的数值实证比较 [page::14][page::15][page::16][page::17]

• 基于2023年SPY数据的CPMM模拟池，费率波动率与历史波动率高度吻合，相关性超过0.95。

• 真实Uniswap V3 WETH/USDC池的费率和历史波动率也显示相似的紧密关系。

• 以GLD ETF为例分析CPMM与Curve v1 AMM，尽管曲线收费不同，费率隐含波动率均与历史波动率相符。

结论与展望 [page::18]

• 理论上确定LVR为风险中性费率，建立隐含波动率的DeFi定价框架。

- 固定对浮动费用互换合约能支持流动性风险对冲及新型金融策略。

• 实证表明费率波动率与历史波动率紧密贴合，预期未来产品上市后将促进对前瞻性隐含波动率的深入研究。

《The Price of Liquidity: Implied Volatility of Automated Market Maker Fees》深度报告分析

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1. 元数据与概览

报告元信息

• 标题：《The Price of Liquidity: Implied Volatility of Automated Market Maker Fees》

- 作者：Maxim Bichuch、Zachary Feinstein

• 发布日期：2025年9月30日

- 主题：区块链上自动化做市商（AMM）的费率结构、风险中性投资者视角下的隐含费用、以及基于AMM费用的隐含波动率和相关性推导。

• 研究领域：去中心化金融（DeFi）、自动化做市商、衍生品定价、隐含波动率、风险中性计量。

报告核心论点及目标

报告核心在于提出并证明一种基于损失-对再平衡（Loss-versus-Rebalancing，LVR）的隐含费用结构，重新诠释AMM提供流动性的费用收益，为流动性提供者（LPs）与风险中性投资者的持仓决策建立等价无差别定价框架。基于此隐含费用结构，报告设计了一种固定兑浮动费率交换合约（fixed-for-floating fee swap），帮助建立基于AMM费用的隐含波动率和资产相关性报价机制，从理论和实证两个层面验证了此模型的合理性。

简言之，作者想表达：

• AMM费用收益中的LVR损失与费用收入精确对冲，构成风险中性投资者不偏好退出的临界条件；

- 这种隐含费用结构与任何AMM设计均保持一致；

• 基于此，可设计创新的DeFi合约实现隐含波动率与相关性的市场标价功能。

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2. 章节逐节详解

2.1 引言与动机（Sections 1-2）

• 核心内容：本文首先复盘 AMM 的基础机制，利用连续时间模型捕捉LP收益特征。重点在于通过损失-对再平衡（LVR）变量，反向推导AMM的隐含费率，强调风险中性度量下LP的费率无套利等价及其与损失均衡的关系。
• 关键推理：

- LP将流动性供给当作一类衍生头寸，收益为持续分红（费用流），退出时机选择为最优停止问题；
- 既有文献大多基于固定、已知的费用参数，而本文提出通过LVR映射获得自洽的隐含费率函数；
- 设计新的固定兑浮动费率交换合约帮助市场机制发现该费率对应的隐含波动率和相关性指标。

• 实证验证：

- 通过2023-24年链上数据和SPY市场仿真，证实了LP在30天滚动窗口内的已实现费用与LVR高度线性相关（相关系数达90%以上），确认费用足以补偿LVR损失；
- 该结果为后续理论分析的实证基础。

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2.2 AMM模型理论基础（Section 3）

• 描述：作者将AMM视为一组“可达组合” $R$ 的闭合、凸集，定义了资产池的状态空间。

- 关键设定：
- Assumption 3.1“无浪费流动性”保证每个非零流动性组合可以以某种代价买入完整市场流动性；
- 重点研究$ n=2 $资产情形（资产x和y，后者为计价资产）；
- 通过定义曲线参数化资产组合$(x(q),y(q))$，以相对价格$q$标记AMM池边界；
- CPMM模型作为最典型例子，公式写作 $x(q) = L/\sqrt{q}$，$y(q)=L\sqrt{q}$，总价值$\bar{C}(q) = 2L\sqrt{q}$ ，参数$L$为流动性代币数量。

• 数学工具：

- 证明AMM池位置沿边界变化可行且唯一，满足单调性和可微性条件；
- 以曲线凸性、曲率$\kappa(q)$度量交易价差影响，AMM不同设计通过曲率对比进行流动性等价校准。

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2.3 损失-对再平衡与隐含费率结构（Section 4）

• 问题设置：

- LP入场时以$(x(q), y(q))$资产组合介入，价格$C(px,py)$定义为资产总价值；
- 持仓期间LP持续获得费用收益流$F(px,py)$，连续收取；LP的退出时间$\tau$通过最优停止策略选择以最大化折现收益；

• 关键假设：

- 价格过程服从风险中性测度下相关几何布朗运动（GBM），对数正态动态，以风险无套利框架定价；
- 费用收取函数$F$依赖当前资产价格状态且无时间显式依赖；

• 核心定理4.2（费率唯一性）：

- LP价值过程$Vt$为折现总费用加持仓价值之和，$Vt$是鞅当且仅当费用函数取形式$F(px,py)=py\ell(px/py)$，其中$\ell(q)$即为瞬时损失-对再平衡（LVR）率；
- $\ell(q)$表达式与价格波动率及相关性线性组合相关，且对应AMM资产权重函数导数。

• 重要推论4.3：

- 在该隐含费用结构下，风险中性投资者对任意退出时点均无偏好，持仓初始价值即折现期望收益，彰显无套利隐承费率唯一性；
- 费率对称性体现了方便换算资产计价基准，增加模型通用性。

• 进一步推广：

- 各类AMM（不同流动性分布设计）隐含费率均可标准化为CPMM的流动性加权版本，保持一致性（Corollary 4.4）；
- 对于稳定币等无波动资产引入时间价值后会有套利，需特别建模（Remark 5)。

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2.4 固定兑浮动费用交换合约与隐含波动率（Section 5）

• 创新点描述：提出一类以LP手续费流作为浮动腿，固定支付作为固定腿的固定兑浮动费率交换合约。
• 合约设计细节：

- 固定腿在合约执行时支付现金或稳定币无违约风险，浮动腿提供锁定流动性代币及相应手续费流；
- 利用拍卖机制确定固定腿价格 $\bar{\pi}$，便于实现合约市场对价与流动性规模匹配；
- 合约时长标准化，便于市场集中流动性并降低清算复杂度。

• 理论结果（Theorem 5.1）：

- 给定合约固定腿价格$\bar{\pi}$，存在隐含的风险中性波动率 $\sigmax^$ 与之唯一对应；
- 特别针对$x$资产为风险性资产，$y$为无波动稳定资产情形，波动率与合约价值互为单射映射；
- 给出了CPMM的解析公式，方便实际定价。

• 两资产相关性推导（Corollary 5.3 & Example 5.4）：

- 利用固定腿价格推算两风险资产的隐含相关性，表达式对应于风险中性变换后的价差统计分布；
- 不同AMM结构价格差异可结合生成“伪隐含波动率曲线”，为DeFi衍生品市场构造波动率微笑的潜在工具。

• 市场激励（Remark 10）：

- 固定腿投资者避免流动性再平衡风险，仅收取纯粹手续费收益；
- LP以参与浮动腿出售风险暴露，同时对风险承担寻求对冲，交换合约为其提供此途径。

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2.5 数值案例研究（Section 6）

• 整体视角：以实际链上数据和传统市场数据为基础，验证并刻画基于手续费的波动率指标的有效性。

6.1 以SPY为例（2023年）

• 通过1秒频率收集公开价格（买卖价差）数据，仿真CPMM，模拟交易及手续费流；

- 手续费与LVR在30天滚动窗口统计下，相关度达99.86%，验证理论假设；

• 手续费波动率与历史波动率线性强相关，拟合系数beta约1.045，表明手续费波动率略高于历史波动率；

- VIX（隐含波动率指标）则整体高于两者，契合传统市场观察[13,14]。

详见图2

6.2 Uniswap v3 WETH/USDC池

• 真实链上池子数据，5bps手续费池；

- 对比手续费波动率和历史波动率，二者同样密切相关，拟合斜率约0.9564，甚至0.9979（有截距时）；

• 实例验证了模拟和理论推导在真实DeFi市场的适用性。

详见图3

6.3 GLD ETF 下 CPMM与Curve v1对比

• Curve v1设计为集中流动性于指定价格区间，本研究选用GLD价格围绕$180$/每股作为稳定点；

- 30bps手续费，1秒频率模拟；

• Curve v1因流动性集中导致手续费总额高于CPMM，但两者手续费波动率均与历史波动率密切匹配；

- 线性相关系数分别为0.9677（CPMM）和1.0193（Curve），验证费率隐含波动率的一致性与AMM设计无关（呼应Corollary 4.4的理论断言）。

详见图4*

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2.6 结论（Section 7）

• 报告系统性建立了基于LVR的隐含费用结构，为AMM流动性头寸的风险中性定价奠定了理论基础；

- 创新设计固定兑浮动费用交换合约，为DeFi市场带来隐含波动率和相关性报价的新工具，可促使更多机构参与流动性提供与风险管理；

• 实证分析确认手续费波动率高度吻合历史波动率，预示未来该工具的发展潜力；

- 作者提出未来工作重点为将合约智能合约化并推向链上实盘考察。

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3. 关键图表及数据详解

图1（第12页）

• 内容：展示CPMM下，固定兑浮动费率交换合约固定腿价格$\bar{\pi}$对隐含波动率$\sigmax^{CPMM}$（左面板）及隐含相关性$\rho^{CPMM}$（右面板）的函数关系；

- 趋势解读：
- 隐含波动率随$\bar{\pi}$单调递增，且呈非线性加速增长趋势，符合波动率市场定价逻辑；
- 隐含相关性在区间内单调递减，范围覆盖[-100%, +100%]，对应固定腿价格变化带来资产间相关参数区间调节；

• 支持文本：定理5.1和5.4提供了相应的解析表达式，图示直接体现变量之间的幂次函数与对数变换影响关系。

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图2（第15页）

• 面板(a)：三条线描述不同波动率指标随时间的时间序列，包含基于手续费计算的波动率、基于SPY历史价格的波动率和VIX隐含波动率；

- 面板(b)：手续费波动率与历史波动率的散点回归图，显示两者基本呈线性关系，拟合系数约1.0453；

• 意义：手续费波动率逼近市场实际波动率，是DeFi手续费流作为风险指标的成功验证，且稍微溢出预示市场费率可能预期未来波动提升。

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图3（第16页）

• 所绘数据与图2类似，但基于真实WETH/USDC池数据；

- 面板(a)显示截止的手续费和历史波动走势较为同步；面板(b)为二者线性拟合，拟合斜率约0.95642；

• 进一步证实手续费指标在去中心化资产中亦有良好表现，具有高信度和稳定性。

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图4（第17页）

• 面板(a)：同一时间窗口内，Curve v1池手续费明显超过CPMM。

- 面板(b)：手续费波动率与历史波动率时序，二者趋势高度一致；

• 面板(c,d)：相应的散点数据，展示手续费波动率对历史波动率的拟合斜率分别为0.96774（CPMM）与1.0193（Curve v1）；

- 说明尽管不同AMM的费率绝对值不同，但隐含波动率定价方法具有普适性，能够跨AMM平台一致应用。

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4. 估值分析与数学结构

4.1 估值方法

• 采用风险中性测度下价格过程假设，资产价格$Pt^x,Pt^y$服从GBM，带相关系数$\rho$；

- 利用最优停止理论，LP根据所确定的费用函数优化退出时间，确定流动性头寸的价值；

• 定理4.2运用Itô引理与鞅性质，得到唯一风险中性费用率满足状态依赖公式，并由LVR表达；

- 利用基于LVR的隐含费率，可通过评估固定兑浮动费用交换合约定价，抽取隐含波动率和资产间隐含相关性；

• 估值核心基于流动性代币价值函数$\bar{C}(q)$，其凹性及界限性保证估值函数良好性质（有界增长、单调性）。

4.2 关键输入与假设

• 风险无套利市场，风险中立测度应用，资产价格及其相关性为核心假设；

- 费用函数参数化为价格比$q = px/py$对应LVR的函数，兼顾AMM不同结构；

• 合约期限$T$、无违约风险和资产流动性保证交换合约安全执行；

- 稳定币作为计价基准假设，简化$\sigmay=0$，便于推导单资产隐含波动率；

• 实证中假设费用按时连续收取，隐含费用等价性依赖费用-损失线性关系。

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5. 风险因素评估

• 市场风险：价格波动率和相关性变化影响费用流，影响交换合约定价，潜在非线性风险；

- 模型风险：AMM组成假设、费用模型简化（时间齐次、状态依赖），或价格过程的GBM假设可能不足以捕捉极端市场；

• 机制风险：固定兑浮动交换合约涉及流动性锁定和市场接受度，短期可能受市场碎片化干扰；

- 稳定币风险：稳定币价格视为无波动的假设，在实际中可能失效造成套利机会；

• 交易和执行风险：链上智能合约实施潜在漏洞、延迟等风险暂未解决。

报告未详细指出缓解措施，但明确假设无违约风险且智能合约执行风险理论上可通过代码审计等管理。

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6. 审慎视角与细微差别

• 对费率与LVR关系：实证以高度相关度证明了理论假设，但二者略有偏差（例如30天间滚动窗口的线性系数不完全为1），实则手续费还受到交易行为、竞争策略影响；

- 流动性集中差异：Curve v1手续费比CPMM更高，意味着不同AMM结构对流动性提供者收益有不对称影响，换言之，推广隐含波动率时需谨慎避免流动性结构偏倚；

• 涉稳定币模型假设：此处假设部分资产无波动简化计算，现实稳定币偶有波动且非完美稳定，可能影响估值和套利关系；

- 未来产品实现难题：合约实际智能合约化未完成，费用定价机制、市场深度、参与者行为的多样性可能导致模型应用挑战；

• 潜在矛盾：当多种AMM并行推出固定兑浮动交换合约时，隐含波动率曲线可能出现不一致，反映市场非完全均衡。

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7. 结论性综合

本报告系统地构建了基于损失-对再平衡（LVR）的风险中性隐含费用框架，确立了流动性提供头寸价值函数的唯一风险中性费率，理论上证明了不同AMM结构下的费用隐含一致性。通过引入固定兑浮动手续费交换合约，为去中心化市场提供了新颖的风险管理工具，能实现数字资产隐含波动率及相关性的衍生品市场定价。

实证部分充分验证了以CPMM为代表的典型AMM设计在传统与链上资产市场上的手续费收益与历史价格波动的高度吻合，并进一步将模型推广至集中流动性渠道（Curve v1）显示费率隐含波动率的稳健适用性。

报告通过多个图表直观展现了费用与损失的相关度、费率波动率与历史波动率的拟合情况：

• 如图2、3所示，手续费波动率与传统历史波动率紧密关联，拟合系数接近1，确认理论性价比大且可靠；

- 图4数据显示，Curve v1与CPMM 尽管手续费绝对值不同，但隐含波动率定价无显著体系性偏差。

总的来说，该工作为DeFi领域提供了亏损风险和费率收益间定价理论的突破，推动流动性提供市场向更成熟的定价和风险管理模型迈进。未来工作应聚焦合约智能合约化和链上市场机制的实际推行，以验证其对隐含波动率市场的长期影响和完善。

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图表摘要

| 图表页码 | 内容简介 | 说明与解读 |
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| 12页 | CPMM隐含波动率和隐含相关性随固定腿价格变化曲线 | 单调且非线性，符合隐含指标经济理论 |
| 15页 | SPY市场手续费波动率、历史波动率、VIX走势图及散点拟合 | 手续费波动率与历史波动率高度线性相关，拟合系数约1.0453 |
| 16页 | 真实WETH/USDC池手续费与历史波动率对比及散点拟合 | 对比强，拟合系数0.95642，确认模型现实合理性 |
| 17页 | GLD上CPMM与Curve v1手续费总额及波动率对比 | Curve手续费更高但两者波动率均紧贴历史波动率，拟合系数约0.9677和1.0193 |

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引用溯源

本分析内容均直接基于原文对应页码结构：[page::0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,20,21,22,23,24,25]

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总结

本文提出了自动化做市商流动性费用的风险中性隐含结构，以损失-对再平衡为核心，创新设计固定兑浮动费率交换合约辅助定价，理论严密、实证充分，极具推动DeFi市场风险管理与衍生品定价发展的潜力。

报告