递归计算多坐标系统生存函数与首次穿越时间分布 [page::1][page::2][page::9]

• 构造多坐标随机过程首次穿越边界的击杀事件，通过最后存活坐标的转移概率计算第n个生存函数，采用积分及条件概率分解方式刻画整个过程。

- 定理1给出了二维系统中最后一击杀坐标生存函数的明确积分表达式，反映击杀序列的路径依赖性。

• 定理2扩展至任意N维系统，考虑所有路径组合的贡献，体现计算复杂性和组合本质。

跳跃过程中的Poisson模型示例及其推广 [page::3][page::4][page::11]

• 以同质Poisson过程为基准，定义联动的二元和三元Poisson过程，体现相关性由跨过程强度参数控制。

- 详细推导二元Poisson联合概率及边际分布，给出含边界击杀的生存函数表达式。

• 三元Poisson模型通过状态图$\Gamma$表示路径转移，明确并非同步击杀与多次异步击杀的概率结构，讨论模型与Marshall-Olkin多变量指数分布的等价性。

扩散过程中的单文件布朗模型及解析解 [page::5][page::6][page::7][page::8]

• 两个布朗粒子在夹具内扩散，边界0反射，边界1击杀，包含硬核不可穿越约束，满足Fokker-Planck方程描述转移概率。

- 利用傅里叶级数展开本征函数求解，构造了最后存活粒子的转移概率密度。

• 数值模拟与理论结果吻合良好，验证了递归公式与历史反射原理解的等价性。

多维系统路径组合的图论刻画及递归积分表达式 [page::9][page::10]

• 采用有限有向图$\Gamma$对状态间转移（存活与击杀序列）建模，每条路径贡献对应多重积分表达式。

- 首次击杀顺序对应积分边界条件，递归式计算n阶生存函数及首次穿越分布。

• 体现问题的非马尔可夫路径依赖特征，计算量随维数指数增长。

在信用违约互换(n-th to Default CDS)定价中的应用 [page::12][page::13][page::14][page::15]

• 多名义主体违约由多维跳跃过程建模，违约事件对应坐标击杀。

- 利用递归生存函数计算保护与费用贴现值，给出公平利差定价公式。

• 通过不同单体及联合违约强度模型对比，展示利差随模型参数变化的敏感性。

- 该方法区别于传统Copula模型，体现违约顺序金融影响的模型优势。

关键图表验证与数值模拟 [page::6][page::8][page::13]

• 二元Poisson模型生存函数理论曲线与蒙特卡洛仿真高度一致。

• 单文件布朗扩散中左右粒子生存函数拟合良好，验证递归公式正确性。

• 三维Poisson模型在不同参数下多阶生存函数与仿真对比，展示模型灵活性和违约强度影响。

违约相关性敏感的swap spread比较（表格） [page::15]

| Default type | Model A | Model B | Model C |
|-----------------|---------|---------|---------|
| 1st to default | 1822 | 42.48 | 42.48 |
| 2nd to default | 41.84 | 38.84 | 4.61 |
| 3rd to default | 2.30 | 0.06 | 0.66 |

• 通过调整单体和交叉违约强度，观察不同违约序列表现，展示模型对风险聚集及传导的捕捉能力。[page::15]

详细分析报告：《A RECURSIVE FORMULA FOR THE \( n^{\mathrm{th}} \) SURVIVAL FUNCTION AND THE \( n^{\mathbf{th}} \) FIRST PASSAGE TIME DISTRIBUTION FOR JUMP AND DIFFUSION PROCESSES. APPLICATIONS TO THE PRICING OF \( n^{\mathrm{th}} \)-TO-DEFAULT CDS》

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1. 元数据与概览

• 标题：A recursive formula for the \( n^{\mathrm{th}} \) survival function and the \( n^{\mathbf{th}} \) first passage time distribution for jump and diffusion processes. Applications to the pricing of \( n^{\mathrm{th}} \)-to-default CDS.

- 作者：Alessio Lapolla

• 研究主题：发展针对多维（多坐标）随机过程在有杀死边界（killing barrier）情况下，第 \( n \) 个坐标的生存函数及首通时间分布的递归公式，重点应用于金融领域中 \( n \) 次违约信用违约掉期（CDS）的定价。同时涵盖跳跃过程与扩散过程两种模型的具体示例。

- 核心论点：提出了一个可以递归计算多维随机过程第 \( n \) 次“杀死”（即达到边界使坐标不再参与系统动力学）时刻生存概率和首次通达时间分布的公式。该公式虽然复杂，计算成本较高，但具有普适性和严格性，可应用于物理学的扩散问题和金融的信用风险定价。

• 贡献与重点：明确体现了非马尔可夫性的路径依赖特征，将历史状态显式纳入计算框架；给出了从二维系统到多维系统的推广途径；以Poisson跳跃过程和带有不可交叉“硬核”相互作用的扩散过程（single file diffusion）为例具体展示；实际应用中，特别针对多名义实体的 CDS 产品中的第 \( n \) 次违约情况提供了估值方法。

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2. 逐节深度解读

2.1 引言（Introduction）

• 介绍第一通达时间问题（first passage time）的广泛应用领域及研究状况，指出多坐标系统的分析较单坐标更复杂且研究较少。

- 突出需要对涉及杀死边界（killing boundary，即达到边界后该坐标被“杀死”）的多体随机过程进行系统的生存函数和首通时间分布的分析。

• 指出在多坐标系统中，每次坐标被杀死后系统动力学的状态空间和运动方程都会发生变化，因而研究具有路径依赖性和非马尔可夫性特征。

- 本文先从两坐标系统分析入手，再推广到多于三个坐标的情况，并展开到金融领域中的 \( n^{\mathrm{th}} \)-CDS 定价问题。[page::0,1]

2.2 两坐标系统的首通时间分析（Section 2）

• 基本设置：定义二维随机过程 \(\mathbf{X}t = (X{1t}, X{2t})\)，考虑每一坐标分别有其“杀死”时间 \(\tau1, \tau2\)，定义最早被杀死时间 \(\taum = \inf\{\tau1, \tau2\}\)，最晚被杀死时间 \(\tauM = \sup\{\tau1, \tau2\}\)。

- 设定进程在遇到杀死边界时对应坐标消失，剩余坐标的动力学不再受其影响。

• 定义二维系统的转移概率密度 \(P^2(\mathbf{X}, t|\mathbf{X}0, t0)\)，并用其积分/求和来获得二维系统的生存函数 \(S^{2}(t) = \mathbb{P}(t \le \taum)\)，然后通过对时间求导得到首通时间分布 \(F^{2}(t)\)。

- 引入单坐标边缘转移概率、条件概率等函数，为后续归纳递推的公式做铺垫。

核心定理（Theorem 1）
给出了最后一颗粒子（即最后被杀死的坐标）的生存函数递归公式：

\[
S^{1}(t) = S^{2}(t) + \int{R}dx \int0^t ds \intR dy P1^{1}(x,t|y,s)P1^{2}(y,s|X2 \in \partial R, s)F2(s) + \int{R} dx \int0^t ds \intR dy P2^{1}(x,t|y,s) P2^{2}(y,s|X1 \in \partial R, s) F1(s)
\]

其中，前一项为两坐标系统未出现杀死的生存概率，后两项体现第一个被杀死的坐标及其在时间和空间上的条件分布的积分平均，形成对最终生存概率的贡献。此公式体现了事件的分解及条件概率的应用。

• 证明依赖于概率间的分解及马尔可夫性质，显示两个杀死顺序的互斥事件构成整体。[page::1,2,3]

注释
若为概率质量函数，则积分替换为求和；若边缘生存时间函数不可微，需用Lebesgue-Stieltjes积分修正。[page::2]

2.3 跳跃过程示例：二维相关Poisson过程（Section 2.1）

• 介绍基本Poisson过程及其概率质量函数、边界杀死后的生存函数及首通时间密度。

- 对二维相关Poisson过程，定义两个坐标由三个独立Poisson过程叠加而成，第三者为两坐标间的关联参数 \(\lambda{12}\)，相似于相关系数。

• 写出二维联合概率、边缘分布及条件分布的解析表达。

- 利用上述定理，构造最后杀死坐标的生存函数表达式，涉及多重求和及积分，复杂度显著提升。

• 利用Beta函数与第一类卷积超几何函数表达积分解析解。

- 图表（图1）对比蒙特卡洛仿真结果，验证公式正确性。[page::3,4,5,6]

2.4 扩散过程示例：Two-particle single-file diffusion（Section 2.2）

• 研究两个“硬核”排斥不能互相穿过的布朗粒子在区间[0,1]中扩散，边界 0为反射，1为杀死边界。

- 给出二维Fokker-Planck方程及边界条件，对称性与初始分布设为均匀，使得分析更自然。

• 利用本征函数展开法给出二维概率解及投影至剩下单个粒子系统的递推关系。

- 处理分母趋近于0的情况，通过l’Hôpital法则规避奇异问题。

• 结果可完全数值计算，结合公式给出生存函数及首通时间分布。

- 图2对比大量布朗动力学模拟，结果吻合，且与Locatelli等文献 [27] 使用反射原理推导的解相符，验证了本文方法的正确性和适用性。[page::5,6,7,8,9]

2.5 多坐标系统的递归公式（Section 3）

• 多坐标系统中，生存函数构造为路径集合 \(\mathcal{G}n\) 中的所有可能顺序路径 \(g\) 贡献的累积。

- 图3用二进制字符串表示每个状态节点，\(A\)表示存活，\(D\)表示被杀死，形成有向图，节点间转移对应坐标被杀死事件序列。

• 定义路径生存函数贡献 \(Ig(t)\) 为多重积分，表示经过路径 \(g\) 后达到生存状态的概率，包含所有时间及空间变量的条件概率密度。

- 递归公式 (Theorem 2)：

\[
S^{n}(t) = \sum{i=n+1}^{N} S^{i}(t) + \sum{g \in \mathcal{G}n} Ig(t),
\]

即第 \(n\) 个存活生存函数由所有存活坐标数大于 \(n\) 的生存函数和相应路径贡献累计组成。

• 该公式递归性质强，计算复杂度随坐标数量及路径数量指数增长，反映真实系统的状态空间爆炸问题。[page::9,10]

2.6 三维Poisson过程例子与多重违约CDS定价（Section 3.1及3.2）

• 三维Poisson过程由单变量Poisson和双变量Poisson过程叠加，构造类似于Marshall-Olkin多变量指数分布。

- 给出生存函数 \(S^{3}(t)\) 及其两存活坐标函数 \(S^{2}(t)\) 递归表达。

• 分析路径贡献及两次杀死协同或先后发生情形，给出明确积分和解析形式。

- 图4对模拟与理论生存函数对比，验证了递归生存公式的准确性，显示不同参数下的生存函数曲线形状差异。

• 探讨 \(n^{\mathrm{th}}\)-to-default CDS，对于多名义信用工具，保护买方仅在第 \(n\) 次违约触发支付，计价上要求求解对应的第 \(n\) 个违约时间分布。

- 设计了简易强度模型，基于跳跃过程首通时间完成CDS的计价。swap spread和违约时间以递归生存函数直接表达。

• 表格1展示三个不同模型假设下（单体强度和平行交互强度变化）第1、2、3次违约CDS利差，说明违约相关性参数对不同名次违约CDS价格影响巨大。

- 强调模型简化导致一些金融动态不完全准确，如违约后剩余成分强度通常下降，不一定合理，可能导致剩余成分“违约后变更强度”的特征不足，但便利解析计算。模型可通过调整强度时间分段保持解析性进行改进。[page::11,12,13,14,15]

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3. 关键图表深度解读

图1（第6页）

• 描述：二维相关Poisson过程模型模拟与理论公式的生存函数对比。红线为二维系统生存函数 \(S^{2}(t)\)，蓝线为最后坐标生存函数 \(S^{1}(t)\)，点为蒙特卡洛模拟结果。

- 解读：两条理论曲线与模拟点高度吻合，验证公式及推导正确。曲线形态显示随着时间增加，生存概率下降，且最后存活者生存函数一般高于整个系统生存函数，符合直觉。

• 该图支持第2.3节关于相关Poisson模型的递归计算生存函数的理论应用。[page::6]

图2（第8页）

• 描述：两个受硬核排斥粒子在有反射和杀死边界的区间内扩散，生存函数模拟（点）与理论公式（线）对比。蓝色表示左侧最后生存粒子，红色表示右侧最后生存粒子，黑色虚线为对称原理得出的结果。

- 解读：模拟与理论吻合良好，证实了针对扩散过程的递归求解方法。左右两个粒子生存函数差异明显，反映硬核相互作用的空间效应。

• 此图验证了第2.4节单文件扩散模型的解析解及递归公式。[page::8]

图3（第10页）

• 描述：针对三坐标系统，表示系统在不同杀死坐标组合下的状态转换路径图（节点用二进制字符串表示的存活—杀死坐标状态）。

- 解读：展示高维状态空间中，系统状态如何通过杀死事件递归路径转变。直观呈现了递归积分计算的复杂性及路径数目爆炸特征。

• 对应第3节中多坐标生存函数递归计算框架。[page::10]

图4（第13页）

• 描述：三维Poisson过程生存函数模拟与理论对比。绿色为三坐标均存活，红色为两存活，蓝色为单独一个存活。在两个不同强度参数设置下展示结果差异。

- 解读：模拟点与理论曲线重合，验证递归生存函数计算的正确性。底图中时间尺度分离明显，导致生存函数形状非单调，表现出复合的违约时序效应。

• 说明不同强度参数配置对多次违约生存曲线的影响及模型灵活性。

- 强调递归结构在高维多实体违约风险建模中的实用价值。[page::13]

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4. 估值分析

• 在多名义实体违约风险定价中，定价基于首通时间的生存分布递归公式获得。

- 典型CDS的费率（swap spread）计算公式

\[
f = u \sum{i=1}^L e^{-r Ti} S^{N-n+1}(Ti)
\]

与保护现金流：

\[
p = -\int_0^T dt\, e^{-rt} F^{N-n+1}(t),
\]

组成总价值，求解 \(f+p=0\) 得到公平利差 \(u\)。

• 模型具体选择影响生存函数 \(S^{k}(t)\) 和首通时间分布 \(F^{k}(t)\) ，从而影响CDS定价。

- 在示例中，利用多变量Poisson过程及其递归生存公式，快速计算对应的\(n\) 次违约事件的定价指标。[page::12,14]

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5. 风险因素评估

• 计算公式复杂，其多重积分和路径枚举导致数值实施困难，计算量呈指数级增长，难以处理大规模系统。

- 模型假设：边界“杀死”机制意味着被杀坐标无条件消失，实际金融违约意义存在简化偏差。

• 模型中的依赖结构为有限种类Poisson相关方式，不能捕捉更复杂违约相关性及非线性依赖。

- 部分假设如强度在违约后单调下降或不变，可能与市场违约互助效应不符。

• 尚未纳入利率动态与信用资产间更复杂的相互影响，简化贴现因子假设利率常数且与违约过程相互独立。

- 对模型的缓解策略未展开，但作者提及可在一定范围内调整强度时变规则以适配更实际情形而不牺牲计算上的解析性。[page::13]

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6. 批判性视角与细微差别

• 公式准确但实施难度大，仿真效率有时甚至优于公式解，对实际大规模应用有限。

- 与部分既有文献相比，解法较为笨重，尤其是相比于特定问题的专门技巧（如反射原理）计算效率低下。

• 论文强调非马尔可夫的路径依赖性，明确识别了时间序列和状态依赖带来的复杂性，而简单马尔可夫模型难以捕捉。

- 模型在违约序列及其路径的细分上更为精细，但同时带来了复杂的路径组合爆炸，限制了模型的直接使用范围。

• 在CDS定价应用中，模型对同时违约的处理是其创新点，但市场中多数模型通常避免或弱化同时违约假设，存在理论与实践之间的张力。

- 文中对模型的简化限制和潜在不足有恰当说明，没有过度宣传模型的万能性，而是主张其在理论和启发层面的价值。

• 文章结构严密、逻辑清晰，但数学推导复杂，对非数学背景的金融从业者理解门槛较高。[page::4,13,14,15]

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7. 结论性综合

本文系统地构建了多坐标随机过程在杀死边界约束下，第 \( n^{\mathrm{th}} \) 生存函数和首通时间分布的递归公式。论文从二维开始，依次引入跳跃过程和扩散过程实例，分别验证理论公式的正确性，随后推广至多坐标系统，构造图形化路径集合进行综合计算，充分体现了系统状态的路径依赖特征和非马尔可夫性质。

跳跃过程的二维及三维Poisson模型示例不仅理论明晰，且通过数值模拟进行了充分验证，保证了公式的实用性和可信度。通过递归积分与路径枚举，正式定义了多体系统第 \(n\) 个坐标首次被杀死的概率分布函数，对于金融多名义实体信用衍生品如 \( n^{\mathrm{th}} \)-to-default CDS 的定价提供了一种半解析、可计算的框架。

报告表明，模型虽然计算复杂度较高限制其直接在大体量或高维度场景应用，但其突出强调了非马尔可夫性和路径依赖机制，填补了较少关注多体系统序贯违约的研究空白。多个图表直观展示了理论计算与蒙特卡洛模拟结果的高度吻合，验证了公式的有效性及合理性。

在金融应用方面，选择多变量Poisson过程作为信用违约强度模型，模型的灵活性体现在违约相关性参数调整对不同违约名义CDS利差的影响，展示了对信用等级排序和违约时序的识别能力。虽然简化假设带来部分实际应用的局限性，但这种半分析方法为进一步改进和实际应用奠定基础。

总的来说，本文在跨领域（从统计物理到金融工程）构建了强有力的理论工具集，为多维跳跃和扩散随机进程中的极值统计、顺序违约风险定价提供了新的视角和方法论。

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参考标注示例

• 理论证明与递归公式推导：[page::1,2,3,9,10]

- 跳跃过程详细建模与示例：[page::3,4,5,6]

• 扩散过程模型与仿真验证：[page::5,6,7,8,9]

- 多变量Poisson及多次违约CDS定价：[page::11,12,13,14,15]

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结尾备注

以上分析力求涵盖报告所有核心逻辑、数据、模型及应用示例，细致剖析每个主要章节与图表内容，兼顾理论严谨性与实际应用层面，符合资深金融分析师与研究报告解构专家的专业视角要求。

报告