$\beta$-偏序及其Strassen类型定理 [page::1][page::9]

• 定义了带有质量至少为$\beta$的最大支撑点原子的$\beta$-偏概率测度，并由此引出$\beta$-偏马尔可夫链耦合的集合$\operatorname{Cpl}{\beta}(\mu,\nu)$。

- 证明了测度$\mu$与$\nu$存在$\beta$-偏耦合当且仅当$\mu\prec{\beta}\nu$，其中$\prec{\beta}$为基于$\beta$-envelope的偏序关系，实质上是凸序的加强，[定理1.1]。

• 设计了对任意函数$g$的$\beta$-envelope $g{\beta}$，将偏序判断转化为函数积分不等式，兼具计算和理论意义。

$\beta$-偏概率测度的结构及函数表征 [page::3][page::4][page::6][page::7]

• 证明$\beta$-偏概率测度可分解为简单$\beta$-偏概率的平均，简单$\beta$-偏概率在其最大支撑点处有一个质量至少为$\beta$的原子。

- 通过定义特殊函数族$\Psi^{\beta}$给出判别条件：$\nu$是$\beta$-偏当且仅当对任意$f\in\Psi^{\beta}$满足$\nu(f)\leq0$。

• 引入扭曲反射函数$R^{\beta}$，实现对右、左侧部分测度的凸序比较简化刻画。

强$\beta$-偏概率测度与严格排序 [page::10][page::11][page::12]

• 定义强$\beta$-偏概率测度，要求最大原子质量严格大于$\beta$。

- 从耦合存在性、凸序不可退化性出发，建立强$\beta$-偏测度的充分必要条件，强化了普通$\beta$-偏的结构。

• 给出强$\beta$-偏测度的等价判据，包含耦合中原子权重严格大于阈值和不可约凸序$\prec{sc}$。

$\beta$-偏序的粘合性质与乘法传递 [page::16][page::17][page::18][page::19]

• 证明：若$\nu0\prec{\beta1}\nu1$且$\nu1\prec{\beta2}\nu2$，则$\nu0\prec{\beta1\beta2}\nu2$。

- 若其中一重偏序为强$\beta$-偏序，则合成偏序为强$\beta1\beta2$-偏序。

• 通过对耦合的分解与重组，构建相应的耦合，体现偏序结构的稳定性。

$\beta$-偏序与泊松补偿过程的随机积分表征 [page::20][page::21][page::22][page::23][page::24]

• 给出$\beta$-偏序的充要条件：存在概率空间和预测过程$H\ge0$，使得$X0\sim\mu$，且$X0+\int0^{\log(1/\beta)}Hs dMs \sim \nu$，其中$M$为负泊松补偿过程。

- 对简单$\beta$-偏概率构造对应的随机积分路径$H$，满足积分过程$Xt$符合指定边缘分布。

• 泛化至一般情况，利用简单偏测度的混合结构，实现场景与函数的可测选择。

- 描述强$\beta$-偏序的积分过程需附加停止时间，保证最大原子质量严格大于$\beta$。

$\beta$-偏序的金融动机与美式期权定价联系 [page::2]

• 简单的单步模型中，引入$\beta=1-1/B1$，与美式看跌期权价格$p(k)$实现无套利条件等价，即存在$\beta$-强偏序。

- 具体价格曲线反映最优行权价及对应的概率分布支撑，提供理论定价基础。

量化函数形式与偏序判别函数族示例 [page::4]

• 通过特定映射$Z^\beta$和函数集$\Psi^\beta$，获得对$\beta$-偏序测度的图形化和函数形式判别方法。

偏序中支撑函数与凸序判别图示说明 [page::15]

• 两条曲线$p{\nu^{R}}$与$p{\gamma\beta}$揭示偏序判定的关键点，交叉点与偏序强度$\beta$相关。

$\beta$-偏序耦合中的支撑点分布示意 [page::17]

• 不同路径和支撑点设置下的耦合结构，视觉辅助对粘合步骤理解。

简单过程的随机积分轨迹示例 [page::21]

• 展示泊松补偿积分过程中，跳变时间$\tau_1$前后的过程路径特征。

强$\beta$-偏序积分过程路径及跳变配置示意 [page::25]

• 演示不同跳变时间与积分函数对最终分布影响机制。

利用最大支持点判断强偏序成立的示意图 [page::19]

• 支撑点排序与强偏序成立条件的直观展示。

Strassen定理关于偏斜凸序的拓展研究详尽分析报告

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一、元数据与概览

• 报告标题：Strassen’s theorem for biased convex order

- 作者：Beatrice Acciaio, Mathias Beiglböck, Evgeny Kolosov, Gudmund Pammer

• 机构和时间：未知机构，2025年9月17日发布

- 主题：概率论与金融数学，主要针对凸序(convex order)的Strassen定理及其带偏斜（biased）性质的推广，特别针对偏斜凸序及对应的martingale耦合结构，并结合Poisson过程积分的表征。

• 核心内容与目的：

Strassen定理经典版表明，两个边缘分布$\mu,\nu$存在以$\mu$为始点，$\nu$为终点的马丁格尔过程，当且仅当$\mu,\nu$处于凸序关系$\mu\prec\nu$。这在金融中保证了欧式期权价格的套利无风险条件及其对应的martingale测度的存在。本文关注的是美式期权的情况，提出了“偏斜”（$\beta$-biased）martingales的更强要求，并建立了相应的偏斜凸序顺序$\mu\prec\beta \nu$。报告的主旨是：

1. 定义并系统发展$\beta$-偏斜凸序与$\beta$-偏斜马丁格尔耦合的理论体系。
2. 推广Strassen定理，给出$\beta$-偏斜凸序对应拥有$\beta$-偏斜马丁格尔耦合的必要充分条件（Theorem 1.1）。
3. 利用Poisson过程补偿积分给出该偏斜序的等价刻画（Theorem 1.2）及其相关性质。
4. 进一步定义并研究强偏斜（strongly biased）凸序和其对应的强偏斜马丁格尔耦合，给出若干刻画和其与偏斜凸序的关系（Theorem 1.3）。

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二、逐节深度解读

1. 引言与概述

• 复习传统Strassen定理：$\mu\prec\nu$（凸序）是存在martingale耦合的充分必要条件。

- 解释金融背景：该凸序自然对应套利无风险欧式期权价格。如果两分布不处于凸序，则对欧式期权存在套利。

• 引入偏斜martingale：定义$\beta$-偏斜martingale为条件分布在其支持最大点处有$\beta$以上的原子概率（质量）；

- 说明偏斜martingale的金融意义，即美式期权需更强的martingale性质（额外的质量约束）。

• 提出$\beta$-偏斜凸序$\mu\prec\beta \nu$，是基于$\beta$-包络函数$g\beta$对应的测试类函数均满足积分大小关系。

- 引入三个主要定理（Theorem 1.1, 1.2, 1.3）：

- Thm 1.1：$\mathrm{Cpl}\beta(\mu,\nu)$非空当且仅当$\mu\prec\beta \nu$。
- Thm 1.2：存在$\beta$-偏斜马丁格尔耦合等价于存在$X0 \sim \mu$和非负可预测过程$H$满足积分关系 $X0 + \int0^{\log(1/\beta)} Hs dMs \sim \nu$，其中$Mt = t - Nt$为负补偿Poisson过程。
- Thm 1.3：强偏斜马丁格尔耦合存在等价于除满足上述条件外，还存在截断时间$\tau < \log(1/\beta)$使得积分过程达到$\nu$。

[page::0,1]

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2. $\beta$-偏斜概率测度与偏斜Strassen定理

2.1 $\beta$-偏斜概率测度的定义及性质

• 定义2.1：$\beta$-偏斜概率测度$\nu$是关于原点居中的概率，满足右支集最大点处原子质量不小于$\beta$，包括简单（单原子）、原子（端点质量超过$\beta$）、和混合三种类型。

• 引理2.2：任一$\beta$-偏斜概率都可分解成简单$\beta$-偏斜概率的混合。

- 结构性定理（引理及命题）：

通过构造函数空间$\Psi^\beta$，定义特殊格式的函数（反对称、凸、线性有界变换），利用对所有$f\in \Psi^\beta$的积分$\nu(f) \leq 0$等价于$\nu$是$\beta$-偏斜概率（引理2.4及Corollary 2.5）。

• 重要技术工具：

- 变换$Z^\beta$和映射$R^\beta$定义了不同的凸序连接方式，且设$a(\beta) = \frac{\beta}{1-\beta}$，提供了对原点对称与尺度调整的描述。
- 分解和混合核构造了$\beta$-偏斜测度的表征，直接关联于Markov核和耦合结构。

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2.2 $\beta$-偏斜凸序与偏斜马丁格尔耦合

• 定义2.9 & 引理2.10：

$\mathrm{Cpl}\beta(\mu,\nu)$为符合$\beta$-偏斜性质的马丁格尔耦合，等价于存在$\beta$-偏斜martingale过程匹配边缘$(\mu,\nu)$。

• 偏斜凸序$\mu \prec\beta \nu$定义：

利用$g\beta$定义核，满足所有线性有界函数均满足$\mu(g\beta) \le \nu(g)$，是$\beta$-偏斜凸序的判定准则。对$\beta=0$，退化到普通凸序。

• Strassen定理推广证明元素：

利用弱最优传输问题和对偶性（弱传输对偶定理[4]）证明了偏斜Strassen定理（Theorem 1.1），定义下的偏斜核函数$c$确定了优化目标，零值对应核支持为$\beta$-偏斜。

• 偏斜核$g\beta$的极大极小表征（命题2.13），利用紧集上的Prokhorov定理保证极限合法且对(函数、测度)求取极值顺序交换。

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3. 强$\beta$-偏斜概率与序

3.1 定义及判别

• 强$\beta$-偏斜概率定义为混合的简单概率中原子质量严格大于$\beta$，强调原子的质量"强度"。

- 引理3.2：原子$\beta$-偏斜且右质量严格大于$\beta$则强$\beta$-偏斜。

• 极限位置限制及不可偏斜样本：

- 引理3.3给出极大点支持的上界和当测度不是单点时质量在极端不可存在的性质。
- 推论3.4：支持无上界概率不能是任意正$\beta$的偏斜。

• 相关耦合结构（Lemma 3.6）给出了强偏斜测度与凸序间关系的判别，凸序需不可约（irreducible），并有与贝尔马丁格尔对应的独特耦合且条件质量大于零。
• 定理扩展：定义强偏斜序和耦合，证明其与偏斜序的闭包性质（Lemma 3.10）和某些偏斜测度的严格包含关系（Proposition 3.11）。

[page::11,12,13,14]

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4. 偏斜序与Poisson马丁格尔积分的表征

4.1 偏斜耦合的粘合性质（Theorem 4.1）

• 尽管$\prec\beta$非传递，但存在乘积式弱传递性质：$\nu0 \prec{\beta1} \nu1$且$\nu1 \prec{\beta2} \nu2 \implies \nu0 \prec{\beta1 \beta2} \nu2$，严格情况下保持强序。
• 证明采用简单$\beta$-偏斜测度到复杂测度的分解方法，使用测度论的可测选择定理（Jankov-von Neumann）和耦合混合。
• 辅助判别条件（Lemma 4.2）给出了支持最大点条件或端点原子严格较大的两种简单判断，从而确认强偏斜顺序。

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4.2 $\beta$-偏斜序的积分特征（Lemma 4.3 & Theorem 1.2）

• 给出Poisson负补偿过程积分表示：

- 积分过程中$X0 + \int0^t Hs dMs$的分布满足$\mu \prec{\betat} \nu$，其中$\betat = e^{-t}$。

• 利用Poisson进程第一跳时刻的指数分布性质，证明了基于积分的$\beta$-偏斜约束。
• 证明由简到繁：

- 单原子$\beta$-偏斜概率对应确定性$H$函数解决Volterra类型积分方程（4.7）。

- 复合$\beta$-偏斜概率降解为简单$\beta$-偏斜的积分混合。

- 更一般的耦合利用逐点构造$H^x$并复合。

• 给出积分过程的性质和当且仅当条件。
• 图示（Figure 6）清晰表达跳跃时间截断过程的轨迹。

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4.3 强$\beta$-偏斜序的积分表征（Lemma 4.8 & Theorem 1.3）

• 强$\beta$-偏斜对应积分过程中积分时间存在严格小于$\log(1/\beta)$的停止时间$\tau$，即积分仅到随机时间截断。

• 利用概率空间延展技巧（见Prop 4.7）构造了复合概率空间下的可预测过程和Poisson过程，保证$\tau$为停止时间，同时保证积分过程的马丁格尔性质和分布匹配。
• 逐层递进的分解策略：

- 从点质量分布到一般分布，保证测度的可测分解将对应积分与$\beta$-偏斜耦合对应。

- 反向证明利用条件配分解和概率展开，电子跳跃时刻耦合特征。

• 图示（Figure 7）辅助理解跳跃分布和耦合关系。

[page::24,25,26]

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三、图表深度解读

图1（第2页）

• 描述：美式看跌期权的价格函数$p(k)$，图中显示了价格随执行价$k$变化的形状。

- 解读：价格$p(k)$在一临界点$\tilde{k}=\max \mathrm{supp}(\nu)$处有非光滑点，表明大于$\tilde{k}$执行价时最优决策为立即执行（时间0），否则等到时间1才执行，符合美式期权特性。

• 关联文本：图支持$p$对应于$\nu$的潜在测度，且结合$\delta{s0}\prec{s\beta}\nu$的序关系，给出了对期权价格的数学刻画[page::2]。

图2（第4页）

• 描述：函数$f=Z^\beta(f)$在不同$\beta$取值的变换示意。

- 解读：随着$\beta$变大，正半轴上的函数开始被拉伸，体现对函数凸性的不同约束，支持$\Psi^\beta$类函数的定义与性质。

• 关联文本：反映偏斜凸序中参数调控函数形状，用于判定$\beta$-偏斜概率的函数测试框架[page::4]。

图3（第15页）

• 描述：价格函数$p{\nu^R}$与$p{\gamma\beta}$的比较，及参数$\beta$调整对应曲线的变动。

- 解读：左图展示二者交点关系，演示选取$\hat{\beta}$使得$p{\gamma{\hat{\beta}}}$严格压倒$p{\nu^R}$，关键于构造更强偏斜概率。右图则展示通过调节$\hat{\beta}$实现的凸序策略。

• 关联文本：该图用于证明当满足强偏斜并满足边界条件时，可以找到更强偏斜参数，实现偏斜阶序的加强[page::14,15]。

图4（第17页）

• 描述：步骤1中概率树的结构示意，显示了偏斜耦合的跳跃和质量分配。

- 解读：展示如何从两级偏斜耦合创建复合偏斜分布，证明偏斜序的乘法传递性质。

• 关联文本：以图形化呈现证明过程中的构造性耦合策略，关键于乘法序的验证[page::16,17]。

图5（第19页）

• 描述：当支持最大点的概率测度$\pi{x1}$严格小于最终支持点$\nu2$时的示意图。

- 解读：显示$\delta0 \prec{s\beta1 \beta2} \nu2$的充分条件，捕捉支持截断的分离效果。

• 关联文本：辅助说明条件成交点对强偏斜序的重要影响，为偏斜序强度量身定制[page::18,19]。

图6（第21页）

• 描述：两个积分过程$Xt$的典型轨迹，分别投射不同的简单偏斜概率测度。

- 解读：显示Poisson过程第一次跳跃后的积分积分迅速截断，符合积分表示中的停止时间限制。

• 关联文本：示范了积分函数$H$和跳跃时刻$\tau1$对最终分布的控制[page::20,21]。

图7（第25页）

• 描述：两种不同耦合情况下，最终测度的支持与跳跃时间的示意图。

- 解读：区分支持截断位置相等与不等，进一步判定偏斜测度强度的结构条件。

• 关联文本：验证积分过程及耦合中间断点与分布强偏斜性的关键区别特征[page::24,25]。

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四、估值分析

本文非专注估值模型，属于概率和金融数学中的分布耦合及序理论，未涉及传统现金流折现、P/E等定价估值。主要贡献是通过概率测度边缘分布序理论，为金融衍生品类似欧式和美式期权的价差及无套利提供数学基础，提高模型鲁棒性。Poisson驱动的马丁格尔积分具备可解释的跳跃结构，适用于估值动态模型。

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五、风险因素评估

报告没有直接考虑金融市场风险等宏观风险，而是强调：

• 偏斜马丁格尔耦合结构对于边缘分布的依赖，若参数$\beta$过高，限制显著，导致僵化（如$\beta=1$降为单点分布）。

- $\prec\beta$非传递性意味着链式构造存在局限，需乘法缩减$\beta$参数，使模型传递中损失偏斜强度；

• 偏斜与强偏斜序的界限条件需满足特定质量分配和端点支持限制，否则不存在对应耦合；

- 模型假设关于随机过程跳跃性质严格，未考虑其他噪声或市场微观结构扰动。

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六、批判性视角与细微差别

• 非传递性使得序的实用组合复杂，存在一定局限，但报告通过$\beta1 \beta2$乘法序巧妙解决。

- 偏斜程度定义依赖端点原子质量，较强理想化，实际市场可能不严格符合；

• $\beta=0$时退化到传统凸序，理论连贯性良好，但如何估计和校准$\beta$值在具体市场中应用仍待清晰说明；

- 强$\beta$-偏斜序与$\beta$-偏斜序的闭合关系为理论上的完整性保证，但经济含义解析较少；

• 依赖Poisson过程补偿积分作为偏斜martingale建模核心，天然适合跳跃市场，但对连续波动场景拓展待进一步探讨；

- 理论较复杂，且多结果依赖于测度分解和对偶最优传输的现代技术，对非专业读者理解门槛较高。

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七、结论性综合

本报告围绕Strassen定理进行了重要传播，即对凸序的偏斜强化：

• $\beta$-偏斜序与马丁格尔耦合：定义了一个基于边缘分布端点原子质量的偏斜凸序，完善了经典凸序中的可行耦合结构，满足美式期权等问题的更强马丁格尔一致性要求。

- Strassen定理的偏斜版本（Theorem 1.1）：给出了偏斜凸序存在相应耦合的必要充分条件，建立了新的弱最优传输问题与对偶理论连接，最终将问题转化为核函数$c$的零值寻找。

• Poisson马丁格尔积分表示（Theorem 1.2）：创新地将$\beta$-偏斜执序转化成了对负补偿Poisson过程积分的结构描述，积分时间长度$\log(1/\beta)$精确控制偏斜参数，达成结构刻画和随机过程模拟对应。

- 强偏斜序及对应结构（Theorem 1.3）：进一步定义了强$\beta$-偏斜序，及对应随机积分同时含随机截断停止时间。其理论体系比偏斜序更强且更贴近实际金融情形的美式期权无套利定价框架。

• 偏斜序稳定性与乘法传递性质：通过偏斜耦合的拼接，体现了乘法收缩机制，对应金融时间结构下的策略分阶段执行。

- 技术创新：
- 函数空间$\Psi^\beta$和变换$Z^\beta$, $R^\beta$的引入；
- 测度分解成简单原子偏斜概率的实用构造；
- 证明采用现代最优传输和马丁格尔耦合的融合方法。

纵览全文，报告以严密的数学结构建立了新颖的偏斜凸序理论，丰富了经典的Strassen定理框架，并利用Poisson过程积分为偏斜马丁格尔耦合提供了直观与可操作的随机过程解释，兼具理论创新和金融实用价值。所有核心结论均建立在充分利用测度分解、对偶理论、可测选择及随机分析技术基础上，且关键定理均由对应图片/图表直观辅助理解，达到理论与直观的有机统一。

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主要引用标注

• 文章核心定义与定理出处[page::0,1]

- 偏斜概率测度定义及性质详述[page::3–7]

• 偏斜耦合定义及Strassen推广证明[page::8–10]

- 强偏斜概率测度及扩展定理[page::11–14]

• 偏斜耦合粘合及乘法传递性质[page::16–19]

- Poisson积分刻画及构造过程详述[page::20–26]

• 反向证明及随机积分扩展[page::24–26]

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总结

本报告基于Strassen定理成功构建并刻画了偏斜凸序与强偏斜凸序的概率测度和马丁格尔耦合理论，创新性地引入负补偿Poisson过程积分表征，并建立了相应的弱传输优化框架，富有极强的数学深度，更具金融衍生品无套利定价的重要意义，是金融数学领域在期权模型鲁棒性理论方面的重磅进展。

报告