风险度量及失真风险度量定义与性质 [page::5][page::6][page::7]

• 失真风险度量为关于概率集函数的签名Choquet积分，具有定律不变性、正齐次性、共单调加性和平移不变性等关键性质。

- 介绍了Gini偏差(GD)、均值-中位差(MMD)、分位差(IQD)三大统计变异性度量及其对应的失真函数，GD和MMD的失真函数为凹函数，符合凸序一致性。

非约束风险分担问题与IQD代理的特性 [page::10][page::13][page::14]

• 帕累托最优分配在非位置不变的情况下等价于归一化后的求和最优分配（Theorem 1）。

- IQD代理的帕累托最优分配等价于求和最优分配，且其失真风险度量的inf-convolution保持IQD结构，具有明确的解析表达（Theorem 2）。

• IQD代理的最优分配呈现出“加权组合的成对反单调”结构，体现极端负依赖关系，如图示的尾部事件风险在代理间被“垂直切分”。

共单调风险分担及Pareto最优的刻画 [page::16][page::17][page::18]

• 共单调分担约束下仍保留失真风险度量的凹性，存在利用线性组合权重的最优分配（Proposition 7）。

- 共单调最优分配由失真函数的点位最小值确定，唯一性条件为失真函数的重叠点集测度为零（Theorem 3及示例）。

• 对于位置不变且失真函数正值的特殊类风险度量，帕累托最优分配可通过子集内的inf-convolution求解。

IQD与凸风险度量混合代理的综合风险分担 [page::20][page::21][page::24]

• 引入映射 $G{\lambda}^{\alpha}$ 将凹失真函数转化为区间零值的失真函数，实现IQD和风险厌恶代理的组合inf-convolution（Theorem 4)。

- 最优分配结构包括尾部事件上IQD代理的风险“独占”，与中间事件上凹风险度量代理的共单调分担相结合。

• 实例分析Anne（GD代理）、Bob（MMD代理）、Carole（IQD代理）三代理风险分担，最优分配通过牛市看涨价差和数字期权对应的衍生品实现。

混合GD、MMD代理风险分担及解析解示例 [page::26][page::27][page::28]

• 分析双边GD与MMD风险度量代理的保险契约，最优分配形如具有上下限的扣除限额形式，满足具体参数区间对应不同保险程度。

- 多代理GD-MMD混合的最优分配可由失真函数的下包络确定，表现为分区间独占风险的分割情况。

• 图示揭示Pareto最优分配的几何形态及区间分割规则。

异质信念共单调风险分担的推广 [page::29]

• 利用绝对连续性假设，证明异质概率信念损失分布可转化为同一基准概率下的不同失真函数，从而异质信念下的共单调风险分担可归结为同质信念问题。

量化策略及模型层面贡献

• 本文构建基于非单调失真风险度量的风险分担优化理论框架，分析多种统计变异性度量的组合及其Pareto最优性。

- 明确了IQD类代理在非共单调风险分担中的特殊结构，提供了该类风险度量inf-convolution的闭式结构及对应最优分配。

• 提出映射$G{\lambda}^{\alpha}$，促进IQD代理与风险厌恶代理的组合求解，给出对应的最优风险分配及金融衍生品解释。

风险共享、变异性测量与畸变风险度量——详尽分析报告

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一、元数据与报告概览

报告标题：Risk sharing, measuring variability, and distortion riskmetrics
作者：Jean-Gabriel Lauzier, Liyuan Lin, Ruodu Wang
发布日期：2025年9月12日
研究主题：探讨风险共享问题中，多个代理人基于不同畸变风险度量（distortion riskmetrics）偏好的风险分配问题。尤其聚焦于非单调、非凸的风险度量，例如均值-中位数偏差（MMD）、吉尼偏差（GD）以及分位距差异（IQD），对这些风险度量下的风险共享最优配置（Pareto最优和和最优分配）给予理论刻画与显式构造。

核心观点与结论：

• 作者提出用畸变风险度量广义类（distortion riskmetrics）研究风险共享，此类度量具备comonotonic additivity和law invariance，但不要求单调性或凸性。

- 明确刻画了Pareto最优分配在多种风险度量偏好代理中的结构，特别给出GD、MMD和IQD作为变异性风险度量的Pareto最优解。

• IQD代理人的最优风险分配表现出非互为同向依赖(comonotonicity)，而呈现极端负依赖性，即pairwise counter-monotonicity的混合结构，代表了风险分配中的“赌博行为”。

- 扩展了带有异质信念代理的纯同向风险共享问题，实现异质信念下的等价风险共享转换。

本报告贡献在于突破传统凸性和单调风险度量的限制，将风险度量范畴扩展到更丰富的非凸非单调视角，理论上深化风险共享结构的理解，并为实务如保险定价、投资组合风险分配提供新的框架。

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二、逐节深度解读

1. 引言（Section 1）

• 场景设定三名代理：Anne、Bob、Carole分别用GD、MMD、IQD偏好评估风险。Anne看重经济学意义的吉尼偏差，Bob青睐均值-中位数偏差的统计鲁棒性，Carole使用统计中常用的分位距差异以避开极端风险关注。

• 这带来两个挑战：

1. 代理的风险偏好非单调；
2. IQD的偏好既非凸也不遵循二阶随机支配，导致非同向结构的最优分配，这区别于已有文献对comonotonic分配的探讨。

• 变异性风险度量被统一称为风险度量（riskmetrics），区别于传统的均方差，其缺陷在于未区分正负偏差，因此引入GD、MMD等更精细的指标。
• 文献回顾涵盖凸性风险度量和传统投资组合风险优化，表明现有对非凸非单调风险度量的共享理论的缺乏。

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2. 畸变风险度量与预备知识（Section 2）

• 畸变风险度量定义：为以畸变函数 \(h\) 作用于累积分布函数的Choquet积分，函数 \(h\) 可能非单调、非凸。
• 详细定义了comonotonicity与counter-monotonicity等随机变量依赖结构。
• 列举畸变风险度量的四个基本性质：

1. 法律不变性（law invariance）
2. 正齐次性
3. Comonotonic可加性
4. 平移不变性（translation invariance）

• 现金可加性定义为特殊平移不变，联系畸变函数值 \(h(1)\) 。
• 凸序一致性（convex order consistency）与单调性相关，凸序一致对应畸变函数的凹性，是风险厌恶的体现。
• 具体风险度量示例：

- 吉尼偏差GD: \(h{\text{GD}}(t) = t - t^2\)，对应面积形状，凸序一致（对应凹函数）。
- 平均-中位数偏差MMD: \(h{\text{MMD}}(t) = t \wedge (1 - t)\)，对称，凸序一致。
- 分位距差异IQD: \(h{\text{IQD}}(t) = \mathbb{1}{\{\alpha < t < 1-\alpha\}}\)，非单调、非凸、断点函数，关注中间区间风险。

• 通过Choquet积分、左/右分位数刻画畸变风险度量。

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3. 无约束风险共享（Section 3）

3.1 一般Pareto与和最优性关系

• Proposition 2：对于Pareto最优的配置，所有代理的\(hi(1)\)必须同符号（全为正、全为零、全为负），确保增减风险在各代理间价值一致，维持问题合理性。
• Theorem 1：当存在\(hi(1) \neq 0\)时，Pareto最优等价于满足和最优条件（sum optimal），即通过权重归一化后，效用求和达到畸变风险度量的inf-convolution。
• 当所有\(hi(1) = 0\)时仅有单向关系(见Proposition 3)，即权重线性组合最优=\( \Rightarrow \)Pareto最优，但不一定反之。
• Proposition 4 和 5：当畸变函数全为凹函数（严格凹），Pareto最优分配必为comonotonic分配；且若畸变函数呈线性相关，更是唯一。
• Lemma 2和Corollary 1严格阐明凸序一致性与畸变风险度量的比较关系，为分析凸性风险度量提供理论基础。

3.2 IQD代理的负依赖极端结构

• Theorem 2：

- Pareto最优等价于和最优（sum optimal）；
- IQD畸变风险度量inf-convolution公式为：
\[
\prod{i=1}^n (\lambdai \mathrm{IQD}{\alphai}) = \left(\mini \lambdai \right) \mathrm{IQD}{\sumi \alphai}
\]
- Pareto最优分配由定义在正尾和负尾的互斥分区事件构成，在尾部条件下呈现pairwise counter-monotonicity，表现为极端负依赖；
- 非comonotonic且无法用传统风险厌恶模型解释，展示了非凸、非单调风险度量下新颖的风险共享行为。

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4. 同向(comonotonic)风险共享（Section 4）

4.1 Comonotonic Pareto最优与和最优配置

• 同样存在类似Theorem 1的结果（Proposition 6），comonotonic Pareto最优等价于comonotonic和最优。
• Proposition 7利用风险可能性集合的凸性，证明存在正权重集合\(\lambda\)实现Pareto最优的权重线性组合和最优分配。
• Theorem 3给出在同向限制下，inf-convolution可由各畸变函数最小值畸变函数表示，并构造了唯一(常数移位除外)的和最优分配，通过线性映射\(fi\)作用于总风险。
• 相关辅助结果（Lemma 3）扩展了Cheung和Lo (2017)对畸变风险度量的积分表达。
• Proposition 8基于畸变函数在开区间正值假设，给出Pareto最优分配对非常数代理的分解，非参与者持有常数配置。

4.2 IQD代理的同向风险共享结构

• Proposition 9表明，IQD代理约束于comonotonic配置的Pareto与和最优同时成立，但畸变函数inf-convolution为：

\[
\boxplus{i=1}^n (\lambdai \mathrm{IQD}{\alphai}) = \left( \mini \lambdai \right) \mathrm{IQD}{\maxi \alphai}
\]

• 这与无约束情形的不同（使用最大参数而非和），且两类分配（无约束vs.同向）为不交且福利有差异，说明非同向配置能提高效用。

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5. IQD与风险厌恶代理混合风险共享（Section 5）

• 引入函数映射\(G{\lambda}^\alpha\)将凹畸变函数变换为区间内非零、区间外零值畸变函数。图 3 对应展示。
• Theorem 4：

- 对混合IQD与凹畸变风险代理，inf-convolution表达式为：
\[
\bigsqcup{i=1}^n (\lambdai \rho{hi}) = \rho{G{\lambda}^\alpha(h)}
\]
其中\(h = \min{i\in N} \lambdai hi\)为风险厌恶代理畸变函数的点逐最小，\(\lambda = \min{i\in I} \lambdai\)，\(\alpha = \sum{i\in I} \alphai\)。

- 显式给出Pareto最优分配结构：
- IQD代理独占分位尾事件，形成pairwise counter-monotonic分配；
- 风险厌恶代理在尾部外区间实现comonotonic优化。

• 该分配构造对市场实现具启示，如期权合约的组合可复制这种风险共享。

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6. 具体例子与应用（Section 6）

• 6.1 多IQD代理的非唯一同向分配结构示例与图解（Figure 4），展示了多IQD代理在同向限制下的畸变函数及其逻辑并非唯一，体现了风险共享灵活性。
• 6.2 Anne（GD）、Bob（MMD）、Carole（IQD）三代理混合风险共享（Theorem 4示例，结合6.2节）：

- IQD代理Carole占据中间区间之外尾部风险；
- 通过一系列交叉点 \(c1, c2, c3\) 将风险尾分割，形成6种不同Pareto最优分配场景；
- 案例6为最复杂案例，其风险分配可用牛市价差(Bull call spreads)和数字期权组合模拟（Figure 6）。

• 6.3 两个代理GD与MMD的风险共享（Example 1复现，Figures 7 & 8）：

- 代理采用凸序一致的畸变函数且严格凹；
- 合成畸变函数为两种畸变函数加权的下包络，分配唯一且构造为简单扣除型保险合约形式，方便理解和实现。

• 6.4 多个混合GD-MMD代理的风险共享（Figure 9）：

- 代理偏好多元加权GD与MMD构成的畸变函数；
- 由畸变函数的最小值决定边际风险归属，构成简单的阶梯扣除带上限分配形式；
- 说明畸变函数组合破裂风险空间形成代理的划分，风险归属明确。

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7. 异质概率信念下的同向风险共享（Section 7）

• 通过绝对连续关系和量化函数定义，转换异质信念和畸变函数到“均衡”单一信念下的等价畸变函数（Lemma 4）。
• Proposition 10说明：在满足绝对连续性和适度分布连续假设下，异质信念下的同向风险共享问题等价于单一信念且畸变函数被变换后的问题，归约复杂度和实现成本。

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8. 结论（Section 8）

• 本文在\(L^\infty\)空间下对风险共享问题进行研究，同时可拓展至更大空间；
• 非凸非单调畸变风险度量导致无约束风险分配复杂，特别是IQD类函数是少有可以全刻画的非凸实例；
• 在凹畸变函数（风险厌恶）类和同向分配约束下，存在丰富理论保证Pareto及和最优分配的构造和唯一性；
• IQD特殊类代理的inf-convolution对应IQD，同理量化代理对应量化inf-convolution，体现了风险度量组合中的保角性；
• 结合IQD与风险厌恶代理模型解决混合代理风险共享，揭示非同向尾部对抗结构和中间同向结构混合的新型风险共享模式；
• 实务中可通过期权组合模拟风险共享结构，提供金融和保险风险转移新路径；
• 未来工作可继续探索非凸风险度量的风险共享，特别非IQD非凹风险度量的解析描述和数值实现难题。

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三、图表深度解读

图1（第9页）：GD、MMD、IQD及期望+畸变的畸变函数示意

• 分析：

- (a) GD畸变函数 \(h(t) = t - t^2\)，曲线抛物线，非单调且凹，呈现风险厌恶特征；
- (b) MMD畸变函数矩形三角形状，中间顶点在0.5，反映对中位数偏差的关注；
- (c) IQD畸变函数为区间指示函数，体现只关注中间分位区间；
- (d-f) 均值和畸变风险度量线性组合，畸变函数相关变换展示不同风险厌恶强度。

• 作用：

- 直观揭示不同风险度量的数学特征及其形态差异，为后续风险共享对比提供基础。

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图2（第15页）：IQD代理Pareto最优分配示意

• 描述：

- 展示IQD代理在分区事件\(A\)（右尾）与\(B\)（左尾）下的风险分配；
- 灰色为IQD代理全额承担的尾部风险，红蓝部分代表非尾部区域按比例分摊。

• 解读：

- 尾部区域构成“垂直切片”，风险呈极致负相关（pairwise counter-monotonic）；
- 中间区域内分配呈向同方向递增（comonotonic），“比例切片”反映混合依赖结构；
- 明确了非同向配置下，IQD代理有截然不同的风险承担特征。

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图3（第20页）：映射 \(G\lambda^\alpha\)的畸变函数转换示意

• (a)示原始凹畸变函数形状；

- (b)示映射\(G\lambda^\alpha\)后畸变函数，调整了函数的支持区间和值域，保留中间区段、尾部为0。

• 说明该映射用于风险共享inf-convolution中将风险厌恶代理畸变函数调整为与IQD代理兼容的结构。

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图4（第22页）：多个IQD代理的畸变函数与分配示意

• (a)各个IQD代理畸变函数乘以权重，红蓝黑阶梯形，重叠处构成inf-convolution低包络；

- (b)低包络决定每个代理在区间上的风险份额，转变为边际风险的分配函数 \(fi(x)\)。

• 体现多代理间畸变函数叠加和风险分区的灵活结构和非唯一性。

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图5（第23页）：混合GD、MMD、IQD三代理的函数\(G\lambda^\alpha(h)\)的6种形态

• 六个子图展示根据参数交叉点变化，曲线形状差异明显，红蓝灰分别代表不同代理风险份额区域。
• 反映指标切换条件变化导致的风险分配策略差异。

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图6（第25页）：案例6中复杂分配与衍生品解释

• (a) 色块分配图：红(GD)、蓝(MMD)、灰(IQD)分区，重叠和空间切割明确。
• (b) 衍生品期权组合收益图：牛市价差和数字期权的位置对应风险分配，详细展示金融合约实现机制。

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图7（第26页）：GD与MMD混合加权的畸变函数

• (a) 各畸变函数形状；

- (b) 按权重乘积后的低包络，确定风险边际分配。

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图8（第27页）：两代理（GD与MMD）间协商的扣除式保险分配

• 明确显示两个代理的风险承担梯形结构，上下阈值明确。

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图9（第28页）：多GD-MMD混合代理的畸变函数结构

• 各代理\(hi\) 顺序排列，低包络\(h\lambda\) 标出风险归属边界。

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四、估值分析

报告核心不涉及传统估值（如DCF、市盈率等），而是通过畸变风险度量inf-convolution求解整体风险共享的“最优价值”。这是一种泛化下的福利函数最小化，涉及权重归一化的畸变风险度量线性组合。

多代理间风险共享的解即为inf-convolution最小值处的畸变风险度量，这对应代理风险偏好的加权下包络函数，关键输入为：

• 各代理畸变函数\(hi\)及权重\(\lambdai\)；

- 失效概率分布对应的各分位数\(Qt\)；

• 风险依赖结构（comonotonic vs 非comonotonic）。

这一框架在传统金融估值外，突破风险分布的非线性组合和依赖，强调分配结构及对称差异，具有高度理论统一性和广泛应用指导价值。

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五、风险因素评估

报告重点不在风险因素揭示，而在于从不同风险测度（GD、MMD、IQD）特性和代理偏好差异出发：

• 代理偏好特殊性：IQD代理非凸、非单调风险偏好导致非comonotonic风险分配；

- 依赖结构差异：尾部风险重叠、对称支配关系不匹配，可能导致传统凸性风险共享方案失效；

• 信念异质：多代理对概率测度和信念的不同假设，可能导致内生“赌博”结构和风险再分配需求，报告通过数学映射解决了异质信念内在问题。

风险缓解体现在分配结构的优化，保证Pareto最优下的风险共享，而非直接的操作风险或市场风险控制。

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六、批判性视角与细微差别

• 报告展开了非凸及非单调畸变风险度量风险分配的理论，挑战传统凸风险度量模型，但对于非IQD非凸畸变风险度量的完全刻画仍留空白，未来需深化研究；
• IQD代理展示的负相关极端结构虽理论完备，但市场实务和模型实施的稳定性与完全性仍未详述；
• 关于异质信念环境，报告假设概率测度间绝对连续满足度较强，现实中信念差异可能超出此框架限制；
• 部分结果依赖于严格凹性和分布连续性假设，应用时需谨慎估计条件适用性；
• 和最优及Pareto最优等价性、唯一性结论充分依赖于畸变函数性质，可能在多样复杂实务偏好下表现不一；
• 图示虽清晰但实证检验和数值模拟欠缺，限制了理论的直接可验证性。

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七、结论性综合

此份报告系统研究了畸变风险度量框架下的风险共享问题，基础理论涵盖：

• 畸变风险度量定义及其几何/分析性质，涵盖非单调及非凸度量（例如IQD）；

- 代理偏好映射风险共享为inf-convolution问题；

• 当畸变函数具备凹性质或在comonotonic约束下，建立了和最优与Pareto最优等价及唯一性，显著提升求解可行性；

- IQD等非凸畸变风险度量产生非comonotonic、低谷事件隔离的复杂依赖结构，是罕见的全局最优无同向风险分配实例；

• 混合IQD与风险厌恶代理的风险共享被设计成尾部极端依赖加上中间同向依赖的复合结构，最终以明晰的畸变函数\(G_{\lambda}^{\alpha}(h)\)为inf-convolution核心映射；

- 智能利用衍生品如牛市价差、数字期权组合模拟复合风险分配，连接风险理论与实务金融；

• 异质信念下的同向风险共享等价于均质信念的重新畸变映射，为复杂信念差异背景下风险分配理论提供实用路径。

图表深刻见解：

• 图1-3深刻刻画了风险度量的形态与转换；
• 图2揭示IQD代理的风险分配是一种混合的基于尾部条件的极端负相关结构；
• 图4及图9展示多代理风险共享低包络结构对于纯净或混合风险偏好的风险分配直观映射；
• 图5及图6通过具体案例解构了复杂畸变函数切换下的风险分配结构及其金融含义；
• 图7-8重现经典的显式风险保险合同形式，验证理论与经济直觉相符；
• 全书结构严密，数据与理论充分凝练，提供未来研究及应用的坚实框架。

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综上，作者基于畸变风险度量的丰富数学结构与金融经济 motivations，创新且严谨地拓展了风险共享领域的研究视野，特别是非凸、非单调风险度量的刻画贡献，预测将对保险、投资组合理论、风险管理及衍生品设计产生深远影响。[page::0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46]

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