研究动机与创新 [page::0][page::1]

• 传统死亡率和利率模型忽略了现实数据中的长程依赖（Long Range Dependence, LRD）特性和两者之间的相关性。

- 提出基于混合分数布朗运动（mfBm）的双变量均值回复模型，综合考虑短期随机波动与长期相关性，填补当前模型空白。

模型框架及主要数学性质 [page::3][page::4][page::5][page::6][page::7][page::8][page::9]

• 模型采用带有Hurst参数 H > 0.5 的mfBm驱动，刻画利率 $rt$ 和超额死亡率 $\mut$ 的动态：

$$
\begin{cases}
drt = (m1 - \theta1 rt) dt + \sigma1 (\alpha1 dW{1,t} + dB^{H1}{1,t}), \\
d\mut = (m2 - \theta2 \mut) dt + \sigma2 [\alpha2 (\rho dW{1,t} + \sqrt{1-\rho^2} dW{2,t}) + dB^{H2}{2,t}]
\end{cases}
$$

• 推导了瞬时方差与协方差表达式，揭示Hurst指数对瞬时相关性的影响，相关性随时间减弱但协方差保持不变。

- 证明利率非负概率及超额死亡率极值的概率上下界，并构建了对应的风险中性测度 $\mathbb{Q}$ ，保证模型在风险中性测度下仍具解析性。

债券定价解析解与数值示例 [page::10][page::11][page::12][page::13][page::14]

• 推导零息债券价格的解析表达式，包括任意时间$t$价，利用fBm的条件期望算子与积分表示方法。

- 数值演示显示，较大Hurst指数及较高利率波动率均能提升债券价格，反映长期记忆增强对价格的积极影响。

• 设计基于实际Mortality-Linked Securities(MLS)结构的灾难死亡债券估价框架，定义主债券付息结构及本金减记机制。

- 通过模拟表明，较高死亡率长期记忆（Hurst指数较大）会显著提升极端死亡率发生概率，从而影响债券设计。

参数估计与市场校准方法 [page::16][page::17][page::18][page::19][page::21][page::22]

• 物理测度下利用R/S分析估计Hurst参数，基于二阶变差构造alpha、sigma估计量，应用最小二乘法和遍历估计法估计漂移参数m和θ。

- 采用序贯算法先估计利率$rt$参数，再估计超额死亡率$\mut$参数，估得负相关$\rho\approx -0.1037$。

• 利用Swiss Re Vita VI债券市场数据，通过模拟及优化确定风险中性测度下的风险溢价参数$\gamma1$ 和 $\gamma_2$，并估计合同的附加点$a=0.0122$ 和耗尽点$b=0.01448$。

- 结合模拟实现定价方程中贴现本金减记因子的数值期望估计，匹配市场报价确定公允收益率。

模拟结果及风险分析 [page::23][page::24][page::25][page::26]

• 基于2015-2024年周度死亡率与3个月期美债利率数据，模拟生成人民群众和利率路径，反映季节性变动与均值回复特性。

- 生成的本金偿付现值分布显示大部分情况下本金可全额偿付，但在极端死亡率冲击时本金大幅损失，尾部风险显著。

• 总支付现值（本金+利息）分布均值略高于名义本金100，风控指标（VaR和CTE）揭示严重下行风险。

敏感性分析 [page::27][page::28][page::29]

• 附加点$a$和耗尽点$b$增加，均会使公允票息率下降，变化对票息的灵敏度受限于参数区间。

- 缩短债券期限降低PFL和EL，公允票息率随年限减少而递减。

• 去除两过程间相关性对价格影响有限，但去掉长程依赖显著降低票息和尾部风险，强调长期记忆的重要性。

- 增加死亡率波动性对定价和风险影响显著，超过利率波动的影响；风险溢价调整主要体现在价格水平变化。

详细分析报告：《Modeling Excess Mortality and Interest Rates using Mixed Fractional Brownian Motions》

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1. 元数据与概览

• 标题：Modeling Excess Mortality and Interest Rates using Mixed Fractional Brownian Motions

- 作者：Kenneth Q. Zhou（滑铁卢大学统计与精算系，加拿大）；Hongjuan Zhou（亚利桑那州立大学数学与统计科学学院，美国）

• 研究机构：University of Waterloo, Canada; Arizona State University, USA

- 主题：提出一种基于混合分数布朗运动（mixed fractional Brownian motion，mfBm）的双变量随机模型，以联合刻画超额死亡率（excess mortality）和利率的长期依赖特性及其相关性，进而为定价和风险管理死亡率相关证券提供理论和实践工具。

• 核心论点：

- 实证研究表明，死亡率和利率均表现出长期依赖（long-range dependence, LRD），即其时间序列具有持久相关性。
- 传统模型多忽略这种长期依赖及死亡率与利率间相关性，难以准确描述两者的联合动态及对应金融产品的风险价值。
- 本文创新地采用混合分数布朗运动构建双变量随机模型，兼顾长期依赖性、均值回复行为及短期波动，实现死亡率与利率的联合建模。
- 在风险中性测度下导出零息债券与极端死亡率债券（mortality catastrophe bond）的定价解析表达式，并提出基于实际市场数据的参数标定流程。
- 通过数值分析研究长期依赖性及死亡率-利率关联对证券定价及风险度量的影响，强调在后疫情时代其重要的实践意义。

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2. 逐节深度解读

2.1 引言（Section 1-2）

• 论点总结：

引言阐述了死亡率风险建模在保险养老金行业的重要性，死亡率相关证券作为风险转移工具的价值，以及传统死亡率模型的不足（主要依赖确定性或无记忆随机过程），强调了长期依赖现象的重要性及其对模型改进的启示。[page::0,1]

• 支持依据：

- 引用传统统计模型如Lee-Carter和CBD模型，虽有随机特性但通常基于无记忆过程。
- 引用实证研究和疫情冲击考验指出死亡率与利率均展示长期依赖和相关性，特别是COVID-19揭示系统性冲击的持久影响。
- 现有文献中法分数OU过程及混合法分数泊松过程的使用为理论基础，但仍缺乏联合建模利率与死亡率的方案。 [page::0,1]

• 关键数据与例证：无具体数值，侧重理论综述。
• 结论：提出需设计包含长期依赖、相关性及均值回复等特性的新型双变量随机框架进行建模。

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2.2 模型介绍与数学基础（Section 2-3）

• 2.2.1 分数布朗运动（fBm）基础

- 定义了fBm及其Hurst参数H。H=0.5时退化为标准布朗运动，H>0.5表示存在长期依赖性。
- 说明fBm非半鞅，无法直接使用经典Itô计算，介绍通过Hilbert空间构造Wiener积分，详述积分方差和协方差的计算公式及关键函数（如$kH$与$\omegat^H$）构造基本鞅及Girsanov变换。
- 通过路径解表述含分数布朗运动驱动的SDE及其在风险中性测度下的转移。[page::3,4]

• 2.2.2 混合分数布朗运动（mfBm）定义

- mfBm定义为标准布朗运动与fBm线性组合，参数$\alpha$控制布朗运动成分权重。
- mfBm兼具fBm长期依赖特性和布朗运动短期波动性，适合描述死亡率和利率噪声。
- 给出了mfBm增量自相关$\rho(k)$性质，当$H>0.5$时$\sum \rho(k)=\infty$，表现为LRD。
- 结合疫情冲击等现实应用背景，强调mfBm能反映死亡率与经济数据间的持久相关及短期波动。[page::4]

• 2.2.3 双变量模型构建

- 提出形式化的双变量均值回复SDE模型，状态变量为利率$rt$和超额死亡率$\mut$， 由布朗运动和分数布朗运动部分混合驱动，存在相关系数$\rho$。
- 参数解释：$\thetai$速度回复，$mi/\thetai$长期均值，$\sigmai$波动率。
- 推导利率和超额死亡率微分增量的方差与相关性公式（Lemma 1），反映Hurst参数如何影响瞬时相关随着时间减弱。
- 证明收益率服从正态分布，给出非负利率概率表达（Theorem 1）。利用Slepian引理和Borell-TIS不等式评估超额死亡率的极端概率界（Theorem 2）。[page::5,6,7,8]

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2.3 风险中性测度与Girsanov变换（Section 3.3）

• 建立了存在风险中性测度$\mathbb{Q}$使得布朗运动和分数布朗运动在$\mathbb{Q}$下仍保留各自性质，切换市场风险溢价（$\gammai, \etai$）影响漂移项。

- 利用基本鞅展开及Girsanov定理构造Radon-Nikodym导数，证明双变量模型在$\mathbb{Q}$下等价变换（Theorem 3）。

• 重要且技术性的证明细节充分涵盖对有限维分布的变换，确保模型在风险中性测度下的有效性。[page::8,9,10]

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2.4 定价框架（Section 4）

• 零息债券定价

- 利率动态沿用模型（9），零息债券价值为条件期望折现积分利率。
- 应用fBm积分的条件期望算子及关系（Lemma 2），借助分数微分算子$(-\Delta)^{\alpha}$推导显式定价公式（Theorem 4）。
- 利用martingale和Itô-isometry，精确论证解析解表达式。
- 展示数值图（Figure 1），论证Hurst参数、波动以及混合系数$\alpha$对债券价格期限结构的影响：$H$越大价格越高，且高波动时影响更显著。[page::10,11,12,13]

• 死亡率相关证券定价

- 描述Mortality Bonds的结构与支付机制，上市样例为Swiss Re的Vita资本债，基于死亡率指数设计触发机制。
- 给出本金减少因子（PRF）的定义和计算方法，连接死亡率指标$\tilde{\mu}t$与偿还本金。
- 讨论死亡率指数选择策略及其建模重要性。
- 用模拟分析证明高Hurst参数意味着极端死亡率发生概率更高，从而影响设计和定价（Figure 2）。
- 给出死亡率债券估值表达（Equation 18），分解现值为分期付息债券现值总和与折现本金调整值的差异，可通过模拟数值计算。[page::14,15]

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2.5 参数估计（Section 5）

• 5.1 单变量模型参数估计

- 使用经典的调整R/S分析估计Hurst参数$H$，说明计算方法与统计基础。
- 利用功率变差（power variations）构造一致估计$\hat{\alpha}$和$\hat{\sigma}$，结合极限定理阐明了估计的渐近性。
- 采用最小二乘法估计漂移参数$m, \theta$，给出显式公式和替代的渐近估计方法。
- 该步骤为模型的实证校准奠定基础。[page::16,17,18]

• 5.2 双变量模型参数估计

- 按照先估计Hurst、波动及漂移参数的顺序分别估计利率$rt$和死亡率$\mut$参数，最后估计相关系数$\rho$，避免高维参数估计的复杂性。
- 明确分步骤实施，确保参数辨识与计算稳定性。[page::18]

• 5.3 风险中性参数校准（定价参数）

- 提出以市场观测的生存债券价格信息（如券息率、预期损失、触发概率）为基础的反求风险溢价参数。
- 设计模拟-优化框架，根据实际寿险债券（Vita Capital VI）市场数据确定风险中立测度下的参数（风险溢价、附加点等）。
- 使用仿真路径计算PRF，反复调整参数使模型输出与市场价格匹配。
- 体现从物理测度到风险中性测度的双层标定过程。[page::19]

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2.6 数值演示（Section 6）

• 6.1 数据

- 使用2015-2024年美国周频死亡率（来自HMD STMF）与3个月国库券利率（FRED数据）共521个观测值。
- 超额死亡率定义为实际死亡率减去2015-2019年同周平均，剔除季节性。利率直接作为模型观察。 [page::20]

• 6.2 参数校准结果

- 按前述步骤标定参数（表1）：利率和死亡率的Hurst参数均显著大于0.5，确认LRD特性。相关系数$\rho=-0.1037$，负相关。
- 图3展示随着时间推移，瞬时相关绝对值减弱，因LRD增加方差而协方差不变。[page::21]

• 6.2.2 定价参数校准

- 利用Swiss Re Vita VI债券数据（5年期，票息3%，预期损失1.06%，触发概率0.75%），部分风险溢价设为0简化计算。
- 优化选择风险溢价参数$\gamma1=0.9231$使零息债券定价匹配市场估值。
- 利用模拟确定附加点$\hat{a}=0.0122$（对应99.94分位数），同时调整枯竭点$\hat{b}=0.01448$使模拟预期损失匹配市场1.06%。
- 通过网格搜索获得死亡率风险溢价$\hat{\gamma}2=0.6065$，实现票息与价格匹配。[page::21,22,23]

• 6.3 基线分析

- 利用标定模型，进行死亡率和利率未来路径模拟（Figure 4），体现季节性和均值回复特征，同时反映不确定性随时间扩散。
- 模拟债券本金偿还分布（Figure 5）呈峰态，重尾明显，少量极端情形本金损失殆尽。
- 风险指标（VaR和CTE）计算显示尾部损失显著。
- 利息加本金的总支付分布（Figure 6）反映多数时间收益略高于面值，但头部风险依旧存在。
- 结论强调利率和死亡率模型的现实适用性及风险管理有效性。[page::24,25,26]

• 6.4 敏感度分析

- 探究券结构参数（附加点、枯竭点、期限）对票息率的影响（Figure 7、Table 4）。票息对附加点和枯竭点均单调递减，期限越长风险及票息越高。
- 改变模型核心参数（包括相关性、Hurst参数、波动率及风险溢价）对票息与风险指标影响显著。
- 长期记忆（LRD）的消除显著降低票息和风险，突显捕捉LRD的重要性。
- 核心波动率扩大对死亡率比利率更敏感，后者对风险与定价影响较小。
- 死亡率风险溢价上升对票息的提升作用明显高于利率风险溢价。
- 结果说明死亡率是决定证劵风险与定价的关键变量。[page::27,28,29]

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3. 图表深度解读

• 图1（页13）：展示不同Hurst参数和波动率$\sigma$条件下零息债券价格对期限的影响。

- 随着债券期限延长，价格整体下降但非简单指数衰减。
- 高$H$对应长期记忆强，价格普遍保持较高值，表明长期依赖抬升债券价值。
- 高波动$\sigma$下$H$的影响更显著。
- 该图支持利率模型中LRD对利率期限结构和债券定价的重要作用。

• 图2（页15）：显示不同$H2$值下超额死亡率最大值超越阈值的概率（超过率）模拟结果。

- $H_2$越高，极端死亡率超过高阈值的概率明显增加。
- 这种现象表明LRD强化了极端事件的持久风险，影响死亡率债券设计和定价的尾部风险管理。

• 图3（页21）：利率与超额死亡率的即时相关随时间变化曲线。

- 相关初始值为-0.1左右，绝对值随时间减弱，接近零。
- 表明虽然两过程即时协方差恒定，但LRD引起的方差增长导致相关性减弱。

• 图4（页24）：分别展示风险中性测度$\mathbb{Q}$下模拟的周频死亡率与利率路径（含平均线和95%置信区间）。

- 死亡率呈季节波动态势，偶尔上升尖峰，置信区间逐渐扩宽。
- 利率均值回复且波动受限，反映合理的经济环境假设。
- 体现模型捕获短期波动和长期持续性。

• 图5（页25）：按物理测度$\mathbb{P}$模拟的债券本金偿还现值分布直方图。

- 主峰靠近全额偿还，说明大多数情形下本金安全。
- 低偿还区域（10到60）显示尾部风险，个别零偿付情况揭示极端死亡风险。

• 图6（页26）：总支付（本金+票息）现值分布直方图。主要集中在100以上，表明票息使得多数情况投资回报超过面值；尾部风险存在少量严重损失。
• 图7（页27）：附加点和枯竭点对票息率的敏感度热图。

- 附加点或枯竭点升高均使票息降低。
- 曲面非线性，低附加点时枯竭点变化影响较大，反之影响递减。
- 支持定价机制对风险触发区域参数敏感。

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4. 估值分析

• 采用风险中性测度$\mathbb{Q}$，结合法分数布朗运动驱动的均值回复模型，实现利率和超额死亡率的估值。

- 利率部分通过线性SDE解和分数积分计算出零息债券价格的解析公式（Theorem 4）。

• 对死亡率债券，基于定义明确的PRF结构和模拟方法计算预期折现支付值。

- 计算结合风险溢价调节漂移参数，确保模型与市场债券价格匹配，风险溢价参数通过最小化价格误差进行估计。

• 经验表明死亡率风险溢价对债券估值影响更为深刻。

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5. 风险因素评估

• 系统性冲击：COVID-19等公共卫生事件引发的死亡率和利率异常波动，对传统模型形成挑战。

- 长期依赖：长期相关性未被充分捕捉会导致低估尾部风险。

• 死亡率与利率相关性：负相关性影响证券定价和风险度量的精细计算。

- 模型风险：基线死亡率选择、季节性调整和相关结构的简化可能导致偏差。

• 市场不完善：风险中性测度不唯一，风险溢价估计依赖有限市场数据，存在估计误差。

- 缓释措施：本文通过引入混合分数布朗运动模型及校准流程以增强模型对风险的刻画能力。

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6. 批判性视角与细微差别

• 本文模型假设利率与死亡率相关性参数$\rho$常数，实际可能随时间变化，长期影响尚未完全捕捉。

- 基线死亡率的选择虽考虑季节调整，但仍未对系统性趋势调整（如医疗技术进步）做动态建模。

• 风险溢价参数在标定中部分设为零简化标的，可能低估真实风险溢价结构复杂性。

- 模型未涵盖利率负值概率的完整解决方案，仅提供概率计算指导，实际应用中需谨慎处理。

• 模型标定依赖大量高质量市场数据与死亡率数据，对市场新兴的死亡率证券数据敏感。

- 图表数据和数学推导严谨，但模拟分析结果可能受初始值、参数估计误差影响。

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7. 结论性综合

本文创新性地提出了基于混合分数布朗运动的双变量随机模型，成功捕获了死亡率和利率的长期依赖及其相互关联特征。模型兼顾均值回复和短期波动性，是对传统死亡率和利率建模的重要拓展。通过风险中性测度构造，得到零息债券和死亡率相关债券的解析定价表达式，并设计了理论与应用相结合的参数标定流程。

数值分析借助美国死亡率与利率数据以及Swiss Re Vita VI生存债券市场数据，验证了模型的现实适用性与风险管理能力。结果表明：

• Hurst参数显著大于0.5，确认长期相关性存在；

- 利率与超额死亡率存在负相关性，且随时间弱化；

• 长期记忆提高极端死亡事件的发生概率，升高尾部风险；

- 死亡率波动及风险溢价对债券票息和价值影响显著高于利率；

• 结构参数（附加点、枯竭点、期限）对定价影响显著且非线性；

- 长期依赖的忽略会严重低估尾部风险和风险溢价，影响合理定价。

整体来看，本文为保险与精算金融领域死亡率相关证券的建模、定价和风险管理提供了理论基础和实践路径。未来研究需关注基线死亡率动态建模、多期相关结构调整及更为丰富的风险溢价表达方式。

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参考溯源

本文所有结论和数据均来自提供报告原文，页码引用按章节格式标注，如主要理论描述来自第3至7页，模型校准数据来自第20至23页，数值分析及图示见第24至29页。

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（全文字数：约3400字）

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