研究背景与问题定义 [page::1][page::3][page::4]

• 分析去中心化金融(DeFi)中自动做市商（AMM）机制下，流动性提供者（LP）因价格波动遭受非永久损失（IL）的风险，权衡手续费收益与退出时机。

- 将LP的最优退出时间建模为带有内生停止时间的随机控制问题，目标是最大化期望收益（手续费减去IL）。

理论贡献与数学分析 [page::0][page::3][page::5][page::6][page::7][page::8][page::14]

• 证明LP价值函数满足哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）拟变分不等式（QVI），且为唯一粘性解，保障解的数学严谨性。

- 提出Euler隐式差分算子分裂方法和基于Longstaff–Schwartz回归的蒙特卡洛算法两种数值方法，提升数值稳定性与计算效率。

数值方法对比与模拟验证 [page::8][page::9][page::10]

• Euler方法与Longstaff–Schwartz方法结果吻合，长staff-斯科尔斯方法略低估价值函数。

- 价值函数在AMM内价格与外部预言机价格相等时最大，偏离此价格时LP倾向于退出。

模型参数敏感性与实证发现 [page::10][page::11][page::12][page::13]

| 价格波动率σ | 期望退出时间𝔼[τ] | 期望手续费𝔼[Rτ] | 期望非永久损失𝔼[ILτ] |
|-------------|---------------------|-------------------|-------------------------|
| 低σ | 1（不提前退出） | 线性增长 | 低 |
| 高σ | 显著下降 | 降低 | 显著升高 |

• 手续费水平r对收益线性影响，超过阈值LP选择长期持有。

- 套利者活动提升手续费但加剧非永久损失；噪声交易者活动提升手续费且不显著影响IL。

• LP退出时机通常发生在内外价格分离过大，回避潜在的非永久损失被实现。

量化策略总结

• 本文无专门构建传统量化投资因子，但提出基于状态变量（池中储备、预言机价格与池内价格）动态决定LP退出时点的最优停止策略，实质是一种动态风险收益权衡策略。

- 通过Longstaff–Schwartz回归机制估计最优停止区域，利用蒙特卡洛模拟与回归逼近结合处理高维随机控制问题。

结论与未来工作 [page::13]

• LP最优退出策略受费率、价格波动和市场参与者激烈程度影响，合理退出能避免重大非永久损失。

- 本研究为AMM流动性提供动态管理提供理论基础。

• 未来可考虑交易费用（如Gas费）的影响，及优先级费用对套利者与LP退出竞赛机制的细化建模。

研究报告详尽分析报告：Optimal Exit Time for Liquidity Providers in Automated Market Makers

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1. 元数据与概览

• 报告标题：Optimal Exit Time for Liquidity Providers in Automated Market Makers

- 作者：Philippe Bergault, Sébastien Bieber, Leandro Sánchez-Betancourt

• 发布机构：

- Ceremade, Université Paris Dauphine-PSL
- Mathematical Institute, University of Oxford
- Oxford-Man Institute of Quantitative Finance

• 发布日期：未明确具体发布日期，但从引用及文内研究时间看为2024-2025年间

- 研究主题：去中心化金融（DeFi）中自动化做市商（AMM）下流动性提供者（LP）的退出时机选择，聚焦于动态退出策略的最优时间，通过随机控制理论分析LP如何平衡手续费收益和无常损失。

核心论点与目标

本报告核心论点是，流动性提供者在AMM中面对手续费收入与无常损失之间的权衡问题，最优退出时机不应是静态的阈值，而是随时间和市场状态动态变化的。通过构建包含内生停止时间的随机控制模型，报告揭示了LP价值函数满足Hamilton–Jacobi–Bellman准变分不等式（HJB QVI），并证明了该不等式的唯一性（在粘性解的意义下）。报告还提出了两种数值求解方法（Euler算子分裂法，Longstaff-Schwartz回归法），并基于校准数据模拟展示了不同市场参数对最优退出策略的影响。模型创新点在于引入了：

• 内外价格的区分及其对LP策略的影响

- 显式考虑套利者的市场行为

• LP的风险规避扩展

最终呈现了一套解决AMM流动性退出问题的数学与计算框架，旨在推动动态流动性提供策略的理解和DeFi市场机制设计。

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2. 逐节深度解读

2.1 引言（1页）

• 介绍DeFi及AMM的快速演进，重点描述了以Uniswap为代表的CFM（Constant Function Market Maker）机制，其通过不变式函数（如产品恒定 \( f(x,y) = xy = k \)）进行资产池交易。

- 论述LP的核心收益来源：（i）手续费分享，及（ii）价格波动引发的无常损失（IL）。

• 文献回顾涵盖了CFM的数学属性（Angeris等，2020）、费用结构设计（Evans等，2021），以及IL的对冲策略（Fukasawa等，2024），并指出当前静态退出策略研究的局限。

- 本文创新点：
- 建立动态最优退出模型，退出时间为内生停止时间。
- 区别内外市场价格，纳入套利者行为建模。
- 兼顾风险中性与风险规避LP情形。

• 强调与最近相关研究（如Capponi和Zhu 2025）的区别：

1. 动态阈值vs静态阈值
2. 更细致的价格区分和市场动态
3. 明确建模套利者行为
4. 风险规避扩展

分析目标为最大化期望LP收益（手续费减无常损失）[page::1,2].

2.2 模型设定（2.3-4页）

• 采用概率空间\(\Omegac\)（连续路径）和\(\Omegad\)（跳过程路径）构建观测状态空间，包括：

- \(Wt\)：布朗运动，驱动外部资产价格。
- \(\hat{N}^at, \hat{N}^bt\)：泊松过程，模型流动性需求方买卖的随机到达。

• AMM由CFM设计，保证储备\(Xt, Yt\)满足 \(Xt Yt = c\)（池深度不变），即时价为 \(Zt = Xt / Yt\)，其中 \(c\)为常数。

- 外部资产价格为随机过程 \(St = S0 + \sigma Wt\)，且价格动态独立于AMM流动性需求方的订单流。

• 订单的交易强度为状态依赖的函数：

\[
\bar{\lambda}^a(y,S) = \max\{a0, a1 + a2(S - c/y^2)\}, \quad
\bar{\lambda}^b(y,S) = \max\{a0, a1 + a2(c/y^2 - S)\}
\]

• 该强度设计反映套利者会根据当前AMM内价格\(Z = c/y^2\)与外部价格差异调整交易活跃度。

- 全面采用测度变换技术（Doléans-Dade指数）切换至风险中性测度\(\mathbb{P}\)，使得强度演化依赖价差而非固定（泊松不变强度）[page::3,4].

2.3 最优控制问题的数学分析（5-7页）

• 定义无常损失公式：

\[
\mathrm{IL}t = -\big( Xt + Yt St - (X0 + Y0 St) \big)
\]

可理解为相对于持有初始资产组合的价值损失。

• LP的目标是选取退出时间\(\tau \in [0,T]\)最大化期望收益：

\[
\sup{\tau} \mathbb{E} \left[ - \mathrm{IL}\tau + R\tau \right]
\]

其中手续费累积为

\[
Rt = \int0^t \mathfrak{r}(Y{s-})(dNs^b + dNs^a)
\]

• 其中费用函数\(\mathfrak{r}\)满足线性增长，意味着手续费与交易量和价格成正比。

- 价值函数表示为三维函数\(v(t,y,S)\)：

\[
v(t,y,S) = \sup{\tau \in \mathcal{T}{t,T}} \mathbb{E}\left[\intt^\tau \beta^b(\cdot) \lambda^b \mathbf{1}{Y+\xi \leq \bar{Y}} + \beta^a(\cdot) \lambda^a \mathbf{1}{Y-\xi \geq \underline{Y}} ds \right]
\]

• 其中

\[
\beta^b(y,S) = \varphic(y+\xi) - \varphic(y) + \xi S + \mathfrak{r}(y), \quad \beta^a(y,S) = \varphic(y-\xi) - \varphic(y) - \xi S + \mathfrak{r}(y)
\]

• 价值函数被证明具有二次增长性质及良好界定，满足动态规划原理。

- HJB QVI形式写出：

\[
\min\Big\{ -\partialt v - \frac{1}{2}\sigma^2 \partial{SS} v - \mathbb{1}{\{y+\xi \leq \bar{Y}\}} \bar{\lambda}^b[\beta^b + v(t,y+\xi,S) - v(t,y,S)] - \mathbb{1}{\{y-\xi \geq \underline{Y}\}} \bar{\lambda}^a[\beta^a + v(t,y-\xi,S) - v(t,y,S)], v(t,y,S) \Big\} = 0
\]

边界条件为\(v(T,y,S)=0\)[page::5,6].

• 对价值函数进行了粘性解（viscosity solution）理论的定义、测试函数空间的细化，给出了定义的上下半连续包络以及粘性次解和超解的判定条件[page::7].
• 证明价值函数是该HJB QVI的唯一粘性解且连续，完整证明置于附录B。此类结果对于确保数值解的理论正确性及解的稳定性至关重要[page::8，15-28].

2.4 数值方法与结果（8-13页）

• 为解决HJB QVI的计算问题，报告提出两种方法：

1. Euler隐式差分法：在三维格点（时间，库存，价格）上离散问题，跳跃项显式处理，扩散项隐式处理，满足Courant-Friedrichs-Lewy条件; 边界上采用Neumann条件；

2. Longstaff–Schwartz算法：基于动态规划的蒙特卡洛回归方法，采用多项式回归预测延续价值，以处理高维及时间离散问题，算法伪码详见算法1[page::8,9].

• 两方法比较显示：

- 两者在整体价值函数形状和退出区域判定上高度一致。
- Longstaff–Schwartz方法的价值函数轻微低估Euler方法，主要由于时间离散导致LP只能在离散时刻退出，而非连续。
- 价值函数在AMM内价与外部价格一致（\(S=c/Y^2\)）时最大，随着两价格差异扩大价值迅速下降，促进LP退出。
- 观察退出区域随时间缩减，说明临近终止时刻，潜在手续费收入减少导致LP更易提前退出[page::9,10].

• 通过10,000次蒙特卡洛模拟，分析多项参数的效果：

- 价格波动率\(\sigma\)（表1）：
- LP平均手续费收入与无常损失均呈先增后减的凹函数。
- 低波动时LP更倾向长期持有，高波动则导致提前退出。
- 手续费费率\(\mathfrak{r}\)（表2）：
- 手续费收入随费率线性增长。
- 当费率超过一定阈值，LP几乎持有至终结时刻。
- 无常损失趋于稳定，表明LP不再频繁退出[page::10,11]。
- 套利者活动强度 \(a2\) 与噪声交易者强度 \(a1\)（表3,4）：
- 随着套利者活动增强，手续费和无常损失双双增大，LP可能更早退出。
- 噪声交易者活动增强带来手续费增长，但无常损失保持稳定，LP持有时间不变。
- 说明套利活跃度是LP退出决策的关键驱动力[page::12,13].

• 由图4可见，LP实际退出时刻点分布体现了平衡利益和风险的动态权衡，价格与时间轴上形成明显的退出门槛形态。
• 图5进一步展示手续费与LP的平均净收益（手续费减无常损失）之间的关系，虽然多数情形期望收益非负，但存在较大方差意味着风险敞口不可忽视[page::12].

2.5 风险规避LP（附录A）

• 讨论以指数效用形式表达的风险规避LP的最优退出问题。

- 运用相似的动态规划原理，建立对应的效用最大化HJB QVI，加入了由于风险规避带来的二阶梯度非线性项。

• 结果表明风险规避模型在极限情况下趋向风险中性模型，揭示本模型有良好的扩展兼容性[page::14,15]。

2.6 理论证明（附录B）

• 详细展开了价值函数作为HJB QVI唯一粘性解的存在性和唯一性证明，涵盖了：

- 粘性次解与超解的定义与验证
- 动态规划原理的应用
- 与测试函数的比较论证技巧
- Ishii引理辅助的对比原理证明
- 时间终点处连续性和边界条件验证

• 这些数学结果强化了模型的理论完备性，为数值方法提供了坚实基础[page::15-28].

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3. 图表深度解读

图1（第9页）

• 描述：显示Euler方法得到的价值函数三维蓝色曲面与Longstaff–Schwartz算法得到的红色截面，以及对应价格与库存状态时，退出区域的划分。

- 解读：
- 曲面最高点沿黑色标注曲线处，即当AMM的边际价格\( Z = c/Y^2 \) 与外部oracle价格\(S\) 对齐时。
- 价值函数随价格错配扩大而快速下跌，反映无常损失增加导致LP退出。
- 时间进展（\(t=0\)与\(t=0.5\)）价值和持有区域均缩小，暗示未来手续费减少，LP更易退出。

• 关联文本：支撑动态退出阈值依赖市场状态的核心论断，验证两数值算法的有效性和一致性[page::9].

图2（第10页）

• 描述：Longstaff–Schwartz与Euler方法的价值函数在多个初始库存值对应的概率分布及置信区间对比。

- 解读：
- 两种方法在多数情况下结果一致，Longstaff–Schwartz稍显保守。
- 置信区间体现了蒙特卡洛方法的随机波动，数值风险控制到位。

• 关联文本：说明时间离散对模型估值带来的系统性偏差和蒙特卡洛算法的实际表现[page::10].

图3（第10页）

• 描述：示意单条路径上外部价格\(St\)、AMM边际价\(Zt\)，库存储备\(Yt\)以及手续费累计和无常损失的演进，并配备了5%和95%分位区间。

- 解读：
- 价格曲线紧密跟踪，表明套利者有效调节池内外价差。
- 库存与价格反向波动，显示AMM的资产流入流出机制。
- 手续费持续增长，对冲无常损失，体现策略合理性。

• 关联文本：体现市况动态下LP位置变化及费用-损失综合考量[page::10].

表1（第11页）

• 描述：波动率\(\sigma\)变化下，LP平均退出时间、手续费总额与无常损失期望值。

- 解读：
- 期望退出时间在低\(\sigma\)下为满仓（1），高波动时提前退出（降至0）。
- 手续费和无常损失先随波动率增大而上升，再大幅下降，反映高\(\sigma\)环境LP早退减少收益也减少。

• 关联文本：展示IL与手续费非线性依赖波动率，LP退出策略对波动率十分敏感[page::10,11].

表2（第11页）

• 描述：手续费水平\(\mathfrak{r}\)变化对退出时间、手续费及无常损失的影响。

- 解读：
- 费率提高促使LP长期持有，手续费成线性增长。
- 无常损失逐渐趋稳，表明高费用使LP避免频繁退出。

• 关联文本：展示手续费设计对LP行为影响，策略平衡点的位置[page::11].

图4（第12页）

• 描述：LP对于一定手续费节点下的退出时间与价格及净收益（三维分布）。

- 解读：
- 可见退出触发点集中在净收益由正转负的区间，且对应于特定价格偏离区间。

• 关联文本：表现LP根据市场条件动态调整退出策略的轨迹[page::12].

图5（第12页）

• 描述：手续费比例与LP净收益期望及其波动范围关系。

- 解读：
- 净收益呈现正向走廊，但波动显著，存在负收益风险。
- LP有退场选择，因此理论期望非负，实际操作中须权衡风险收益。

• 关联文本：强调手续费设计中风险管理的重要性[page::12].

表3与表4（第13页）

• 描述：噪声交易者强度\(a1\)和套利者强度\(a2\)对关键指标影响。

- 解读：
- \(a1\)提升促进手续费增加但不影响LP持仓时间及无常损失。
- \(a2\)提高带来更高手续费与无常损失，LP持仓时间趋近终点，说明套利活跃度驱动LP风险实现。

• 关联文本：区分了不同市场参与者对LP退出行为的不同影响[page::13].

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4. 估值分析

本报告将LP的退出时机问题建模为随机控制的最优停止问题，核心是计算价值函数\(v\)以最大化预期净收益。该价值函数满足带跳跃项的HJB准变分不等式（QVI），具体如下：

• 状态变量：时间\(t\)，池内储备\(Y\)，外部价格\(S\)。

- 控制变量：退出时间\(\tau\)，属于停止时间集。

• HJB QVI囊括连续扩散项（外部价格布朗运动的二阶导数项）和跳跃项（基于交易到达的泊松过程动力学）。

- 估值的关键输入包括：
- 价格波动率\(\sigma\)
- 订单强度参数\(a0, a1, a_2\)
- 费用函数 \(\mathfrak{r}(\cdot)\)
- 资金池深度\(c\)、单次交易大小\(\xi\)

• 永续增长率等经典DCF参数不适用，因价值函数定义在有限终止期\(T\)。

- 数值解算：如第四节所述，使用Euler隐式差分和Longstaff–Schwartz回归两种方法，验证估值准确性及退出策略[page::6,8-13].

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5. 风险因素评估

• 市场波动风险：

- 高波动率促使LP提前退出，手续费收入和无常损失均呈现非线性变化，部分路径可能导致负收益。

• 套利行为风险：

- 套利者数量增多虽增加手续费收入，却放大无常损失，强化价格对齐风险，加快LP退出。

• 交易费用风险：

- 低手续费无法弥补无常损失，导致LP频繁退出甚至亏损。
- 过高手续费可能抑制交易活跃度，长期影响流动性提供者收益。

• 模型参数不确定性：

- 费用函数线性增长假设可能简单化现实情况。
- 市场特征参数难以精准估计，可能使策略失效。

• 交易成本与优先费忽略：

- 报告提及现实中LP与套利者在退出速度竞赛中，需考虑区块链上的Gas费和优先费，模型未纳入该复杂性，是潜在风险来源[page::13].

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6. 批判性视角与细微差别

• 本文提出的退出阈值依赖精确的市场状态（价格与储备），模型假设了价格跟踪严格且套利行为遵循预设强度函数，现实中价格异步与流动性碎片化可能破坏这一假设。

- 手续费模型假设线性，未考虑阶梯费率或动态调整机制，宏观费率变化可能对结论产生显著影响。

• 模型忽略了费用支付的链上成本，尤其在链上竞争激烈时，Gas费对LP退出选择影响巨大。

- 模型中只考虑了单一代表LP，未充分考虑多LP之间的策略互动和市场均衡问题，可能导致实际策略偏差。

• LP和套利者决策的时间连续性在Longstaff–Schwartz方法中存在离散化误差，模型数值结果对参数敏感，需要谨慎应用。

- 复杂数学证明虽然严谨，但对现实操作的指导意义可能有限，尤其是个别复杂市场事件（如闪电贷攻击，市场崩盘）未涵盖[page::1-30].

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7. 结论性综合

该报告系统地研究了自动化做市商（AMM）中流动性提供者（LP）何时退出以平衡手续费收益与无常损失（IL）的最优问题。通过构建包含内生停止时间的随机控制模型，报告证明其价值函数满足具有跳跃项的Hamilton–Jacobi–Bellman准变分不等式（HJB QVI）的唯一粘性解，理论完备且具备稳定性。

主要创新点包括：

• 区分并建模了AMM内价格与外部资产oracle价格，考虑套利者对价格对齐及LP退出的影响。

- 提出动态退出区域，阈值随时间和市场状态变化，不同于已有静态阈值设定。

• 提供Euler差分法和Longstaff–Schwartz回归法两种有效的数值算法及对应伪代码。

- 通过大量蒙特卡洛模拟并用市场数据校准，展示了波动率、手续费、套利者和噪声交易者活跃度等参数对LP最优退出策略的影响机制。

• 拓展风险偏好设置，涵盖风险中性与风险规避场景，提升模型应用潜力。

数值模拟核心发现：

• LP价值于内外价格对齐时最大，随着价格错配增加，价值迅速下降，促使LP提前退出以规避无常损失。

- 手续费必须达到一定门槛才能使LP长期持有流动性。

• 套利者活动增加虽带来更多手续费，但同样诱发更高的无常损失和提前退出。

- 噪声交易者增加主要提升手续费，对无常损失影响有限。

• LP退出前往往主动规避套利者通过实际交易实现的无常损失，形成“竞先退出”现象。

报告也指出了未来研究方向：引入实际链上交易成本与优先费模型，以及多LP间策略互动的均衡分析。

整体而言，该报告为DeFi自动化做市行业提供了数学严谨且计算可行的动态退出策略框架，丰富了AMM流动性动态管理的理论与实务理解，为设计更有效的市场机制奠定了基础[page::0-30].

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图表展示示例

图1：价值函数及退出区域示意

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参考文献摘录（部分）

• Angeris et al. (2020), "An analysis of Uniswap markets"

- Capponi & Zhu (2025), "Optimal exiting for liquidity provision in constant function market makers"

• Longstaff & Schwartz (2001), "Valuing American options by simulation"

- Bergault et al. (2024), 关于AMM动态流动性提供的系列研究

• Fleming & Soner (2006), "Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions"

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本分析在全面解读原文理论模型、数值方法和实证结果基础上，严格遵守出处标注要求，保证内容的客观、详尽和专业。

报告