Modeling Loss-Versus-Rebalancing in Automated Market Makers via Continuous-Installment Options
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摘要
本文首创性地将常数函数自动做市商（CFAMM）头寸建模为永续美式连续分期（CI）期权的期权组合，证明AMM头寸的损失-再平衡(LVR)可解析地等价于嵌入期权的时间价值消逝（融资费率）。此框架推导出等价关系，构造近似恒定、路径无关的未来LVR流形，并通过隐含波动率对融资费率参数进行校准，为流动性提供者量化未来逆向选择成本、设计头寸参数提供理论和实用指导[page::0][page::1][page::6][page::8][page::12][page::14]。
速读内容
1. AMM中的损失-再平衡(LVR)定义及重要性 [page::0][page::1]
- LVR描述流动性提供者（LP）在面对套利者时，由于AMM报价滞后于主市场，主动再平衡带来的成本损失。
- LVR速率与AMM曲线斜率和基础资产波动率成正比，显著影响LP净收益。
2. 从永续美式连续分期期权(CI期权)视角刻画AMM头寸 [page::1][page::3]
- CFAMM头寸的价值和敏感度(delta，gamma)函数类似于期权组合，采用永续CI看跌期权构造期权组合delta精确匹配AMM头寸。
- CI期权持有者需支付持续恒定的融资费率q，期权无到期日，期权价值满足无时间依赖的ODE，体现为时间不变性。
3. 融资费率等价于AMM的LVR [page::6][page::7][page::8]
- 证明高融资费率极限下，CI期权delta趋近于阶跃函数，可构造权重服从二阶导的期权条带组合精准再现CFAMM delta。
- 期权组合的融资费率收益精确等于对应CFAMM头寸的LVR，两个值在积分意义和增量意义下完全一致。
- 设计使AMM流动性头寸delta对应单一永续CI看跌期权delta，形成具有近恒定且路径无关LVR的头寸。
4. 离散和有限融资费率的近似误差分析 [page::9][page::10]
- 离散期权条带及有限融资费率下的delta复制误差被量化，最大误差与RMSE均控制在$10^{-3}$以下，随着增加融资费率q和减少行权价间距ΔK误差降低。
- 提供误差曲线图，帮助实践中权衡资本投入和复制精度。
5. 波动率参数的估计与隐含波动率挂钩 [page::10][page::11][page::12]
- CI期权中无到期日，通过计算CI期权存续的第一出界时间的期望值，定义“有效持有期”。
- 利用市场隐含波动率的期限结构，构建隐含波动率与有效持续期的映射，实现对CI期权中恒定波动率的估计。
- 该估计具备误差界，短期高融资率波动率曲线非平坦带来较大误差，长期较为稳健。
- LP可基于此估计匹配期望的持有期和损失，优化流动性头寸选择。
6. 结论与未来展望 [page::14]
- 本文首次将AMM中LVR等价描述为CI期权组合的融资费率，提供新的定量框架。
- 该框架具备时间不变、可静态对冲的优势，降低频繁再平衡。
- 未来研究方向包括非对称流动性带设计、多因子波动率模型引入及实际链上交易摩擦建模。
关键图示展示
- CPAMM流动性头寸的delta与gamma分布和CI期权边界示意图（见 images/6517a749...jpg）
- CI期权随融资费率变化的价值曲线及边界（见 images/eb2666ac...jpg）
- 离散期权条带近似误差曲线与模拟delta比较（见 images/c16c32fe...jpg）
- CI期权基于隐含波动率期限结构估计的有效波动率分布及误差（见 images/5a70736e...jpg， images/12239f6...jpg）
深度阅读
金融研究报告详细分析报告
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一、元数据与概览
报告标题：
"Modeling Loss-Versus-Rebalancing in Automated Market Makers via Continuous-Installment Options"
作者及机构：
多伦多大学与约克大学多名学者联合撰写，主要作者包括Srisht Fateh Singh、Reina Ke Xin Li、Samuel Gaskin等。
发布日期：
2025年8月6日。
主题/领域：
本报告聚焦于区块链领域中去中心化金融（DeFi）基础设施中的自动化做市商（AMM），尤其针对AMM中流动性提供者的损失问题(Loss-Versus-Rebalancing, LVR)，通过期权理论进行建模。
核心论点及目标：
该报告创新地将CFAMM（Constant-Function Automated Market Makers）中流动性头寸视作一组“永久美式连续分期（CI）期权”组合，进而解析AMM流动性提供者的对冲和损失情况。核心结论包括：
- AMM流动性提供者面临的“loss-versus-rebalancing (LVR)”对冲成本，等价于CI期权的时间价值衰减（即期权的theta或资金费）。
2. 构造特定的AMM流动性头寸，使其LVR在给定未来窗口期间大致保持恒定，且与对应CI期权资金费相近。
- 提供一个具体的波动率标定方法，使流动性提供者可基于期权市场数据选取合适的流动性配置，从而预测并优化未来LVR。
此框架首次严谨地用期权理论解释了AMM流动性提供者的对冲损失机制，为DeFi LP策略提供理论基础和实施指导。
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二、逐节深度解读
1. 引言（Introduction）
- 报告背景介绍了区块链智能合约平台（以太坊、Solana等）推动DeFi爆发式增长，4][17]，AMM成为关键基础设施，通过算法定价实现代币交换。
- AMM重要参与者包括交易者和流动性提供者（LP），LP通过在交易对中预先存入两种代币来提供流动性，但会面临价差带来的负面影响。
- 即使LP持续主动通过离线组合进行风险对冲（买入价格上涨的代币，卖出价格下跌的），由于AMM价格滞后于中心化市场价格，套利者会持续从LP中转移价值，形成LVR损失。[page::0][page::1]
2. LVR的描述与问题陈述
- LVR体现了即使主动再平衡，LP仍因AMM价差滞后被套利者抽取的“持续且系统性”费用，取决于AMM曲线斜率和资产波动率。
- 尽管LP通过交易手续费获得补偿，但需要权衡手续费收益和LVR损失，估算未来LVR尤为关键。
- 目前关于未来LVR的研究较少，报告利用“持续期权（Perpetual American Continuous-Installment, CI）”作为建模工具，弥补这方面的研究缺口。[page::1]
3. CI期权与AMM头寸的数学建模
- CI期权是无到期日的美式看跌期权，持有者需支付持续的资金费（资金费率 q），以维持头寸生效，且随时可行权或放弃头寸。
- 报告建立CFAMM中流动性仓位与期权组合的对应关系。
- 当资金费率q趋于无穷大时，CI期权价值趋近于传统看跌期权的“高尔夫球杆”形态（payoff为max(K-S,0)），delta变为阶梯函数。
- 该极限条件为构造完全delta复制的期权组提供了理论基础，即通过“无限多strike和无限资金费率”的CI期权组合完全复制AMM头寸的delta风险敞口。[page::2][page::6]
4. CFAMM的价格、不变式与风险敏感度
- CFAMM如Uniswap V2满足恒积不变式 $F(x,y)=k$，价格为$S=y/x$。
- UniswapV3引入集中流动性，流动只在价格区间[a,b]内存在，带来更复杂的储备和价格敏感性曲线。
- 头寸价值函数$V(S)$的导数$X(S)$（Delta）和二阶导数$\Gamma(S)$（Gamma）分别描述对价格变化的敏感度，Gamma证明为负，符合期权卖方风险敞口特征。[page::2][page::3]
5. LVR的定义及其与CI期权资金费的等价性
- LVR定义为CFAMM头寸价值与按Delta可复制投资组合价值之差。
- 即使LP不断再平衡，其delta对冲组合也不可避免地产生持续亏损，表达为公式：
$$d\text{LVR}t=\frac{1}{2}\sigma^2 St^2 \Gamma(St) dt$$
- 关键理论创新证明了该LVR等价于CI期权资金费率q乘以对应期权头寸的权重，即资金费（期权卖方收益）严格等于AMM提供流动性的对冲损失。[page::3][page::7]
6. 离散化误差与实际应用
- 实际中无限多连续strike的组合难以实现，故用有限个strike和有限资金费的CI期权组合近似。
- 分析表明随着资金费q增大，期权delta渐趋阶梯，披露最大绝对误差和均方根误差随q和strike间距$\Delta K$变化趋势。
- 结果显示，误差可控且较低（低于0.1%），精度满足实际LP使用需求。[page::9][page::10]
7. 波动率的校准
- 由于CI期权基于固定波动率黑-舒尔斯模型需标定$\sigma$，而市场提供的是各期（非永久）期权的隐含波动率$\hat{\sigma}(\tau)$，本报告给出根据价内-价外隐含波动率曲线计算CI期权“有效波动率”的方法。
- 利用首出区间和期权终止时间的分布，得到期望退出时间$\bar{\tau}(q)$，进而反向求解对应的有效常数波动率。
- 通过ETH期权市场实际波动率曲线拟合，估算误差范围（MAD与RMSE），为LP提供了基于市场数据的客观波动率标定工具。
- 这使LP能基于市场信息，结合期权估值选择和评估适合自己期望持有期限的流动性头寸结构。 [page::10][page::11][page::12]
8. 结论与未来研究方向
- 本文为AMM中流动性提供者损失机制建立起严密的期权理论解释，提供了可操作的策略设计框架。
- 持续期权资金费与LVR相等的结论，实现了对流动性头寸的前瞻性LVR量化。
- 离散化分析保证该理论可以在实际操作中近似实现。
- 波动率标定方法使得LP可以围绕期望持仓期定制流动性区间，准确预测未来对冲损失。
- 研究指出未来需考虑非对称区间布置、非常数波动率、交易摩擦等现实因素，并探索基于CI期权的链上对冲工具开发，以更贴合实际。 [page::14]
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三、图表深度解读
图1 (page 3) — CPAMM不变式与流动性敏感参数
- （a）图展示CPAMM的token储备xy=k不变轨迹与切线，对应价格。
- （b）展示头寸价值$V(S)$，Delta和Gamma在价格区间的变化，Delta和Gamma都随价格单调递减，Gamma为负数。
- 说明：这支持CFAMM头寸作为卖方期权组合的直观理解，Gamma为负对应期权卖方的风险暴露。[page::3]
图2 (page 4) — 永续CI看跌期权价值曲线
- 图(2a)显示CI期权价值曲线及其界限$S
- 图(2b)对比不同资金费率q下CI期权价值，费率越高，价值趋近于payoff，低费率下价值更平滑，表现类长时间到期价格敏感度。
- 结论：资金费率类似于“隐含到期时间”调节器，连接传统欧式期权和无期限连续付费期权。[page::4]
图3 (page 6) — CFAMM头寸与欧式期权组合对比
- (a) CPAMM流动性头寸价值与短期欧式看跌期权组合价值极为接近。
- (b) 价值差异呈现非零但较小曲线，反映两者在时间演进机制上的不同。
- (c) 时间价值衰减曲线显示欧式期权价值随着到期日临近快速减少，而CI期权的价值因持续付费保持恒定。
- 说明：CPAMM可视作CI期权组合，克服欧式期权时间衰减限制，形成更适合持续持有的流动性策略。[page::6]
图4 (page 10) — 离散CI期权复制误差随资金费率与strike间距变化
- (a) 最大误差与资金费率q的对数关系，资金费增大误差普遍降低，strike间隔扩大误差增大。
- (b) RMSE同样趋势，验证最大误差结果的稳健性。
- (c) 以$q=250$, $\Delta K=2$为例，复制的Delta曲线几乎与目标完美吻合。
- 说明：结果证明用有限期权组合近似流动性头寸的方案实用性强，LP可按实际需要调节参数，平衡精度和操作成本。[page::10]
图5-7 (page 11-12) — 波动率校准与退出时间分布
- 图5展示CI期权期望退出时间的概率分布，显示退出时间多集中在期望均值附近。
- 图6展示基于以太坊期权ATM波动率的数据拟合，对有效波动率$\sigma{eff}^2$进行分布描述，验证标定方法。
- 图7反映标定误差(MAD、RMSE)波动随时间变化，在合理范围内（一般小于10%），适用性良好。
- 这些图强化了用市场数据估算永久CI期权波动率及LP未来损失的实证基础。[page::11][page::12]
表1及图8 (page 13) — 资金费率与区间选择指导
- 表1细述不同期望持仓期限和有效波动率对应的资金费$q$，区间边界，残差误差等，供LP按策略选定对应流动性带宽。
- 图8展示不同期限和波动率下残差误差$rK$与资金费$q$比例，说明高持有期和高波动率环境下模型误差可控。
- 这些直接关联量化了持有时间、波动率、区间宽度与LVR成本的权衡，对实际流动性策略设计具有重要指导意义。[page::13]
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四、估值分析
- 本文估值核心基于Black-Scholes模型，扩展为无到期日的永久美式连续分期期权(CI Put)，其定价满足无时间导数的黑-舒尔斯型ODE。（见公式(7)）
- 关键参数：
- 波动率 $\sigma$：采用市场隐含波动率通过截面ATM曲线加权标定（见第8节）；
- 资金费率 $q$：代表期权持有者持续支付的“续期费”，映射为AMM中LP的LVR；
- 利率 $r$：无风险利率；
- 行权价 $K$及上下边界 $S\ell, Su$：期权激活区域界定，对应AMM流动性区间。
- 估值反映期权价值的资金费用扣除特性以及价格路径依赖，适用于无固定期限的LP头寸。
- 通过该模型，LP将其流动性头寸视为一个资金费支付的期权组合，资金费正是LVR的数学表达，既解释了资金费的经济含义，也为前瞻性定价提供工具。
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五、风险因素评估
- 主要风险为：
- 模型假设风险：采用GBM假设及恒定波动率，市场波动率实际具时变性或随机波动，可能导致估值偏差。
- 市场流动性风险：模型假设连续交易及流动性充分，现实交易中可能存在流动性不足、交易成本、滑点及链上费用（Gas）影响。
- 波动率校准风险：基于市场期权隐含波动率曲线的近似，尤其短期隐含波动率曲线陡峭且数据稀少时误差较大。
- 离散化风险：实际无法构建连续无限期权组合，离散strike组合存在复制误差。
- 套利执行速度风险：套利者速度远快于LP调整，导致AMM价格持续滞后，LVR可能高于模型估计。
- 报告在第7节量化了离散化误差，第8节评估波动率标定误差，提出实际LP可基于模型预估的成本-边界制定策略，部分缓解上述风险。
- 但无明确策略应对极端市场波动或交易中断，未来研究需扩展模型以纳入交易摩擦及复杂市场结构。[page::7][page::9][page::12][page::14]
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六、批判性视角与细微差别
- 该模型建立于理想条件假设，如恒定风险中性测度下的几何布朗运动，忽视实际价格跳跃、市场微结构等复杂因素，可能影响模型适用性和精度。
- 模型强调LP对冲基于期权组合理论，实际操作中复刻该组合的成本、交易时间延迟及链上砂砾交易费（Gas费）未被充分量化。
- 虽然对CI期权的资金费-期权时间价值对应关系严谨，但此种期权本身尚未被广泛市场化，CFAMM头寸可复制该期权仍有理论到实践的转化难题。
- 报告证明delta复制的连续极限成立，但实际离散方案的误差虽小，长期累积可能产生显著偏离，需LP在策略配置中谨慎权衡。
- 期权波动率标定部分通过隐含波动率曲线的线性插值和固定点求解，近似精度依赖数据完整性及市场持续性，市场异常时该方法鲁棒性待考察。
- 本文未讨论流动性提供者面对的市场流动性风险、协议层风险及智能合约风险等非金融建模因素，需后续综合考虑。
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七、结论性综合
本报告系统地利用金融衍生品理论，尤其是永久美式连续分期期权（CI期权）的定价机制，成功为DeFi的自动化做市商（AMM）中的流动性提供者（LP）遭遇的对冲损失——loss-versus-rebalancing（LVR）提供了数学刻画和经济解释。通过构造满足delta匹配条件的期权组合，将AMM头寸视为CI期权组合，获得如下深刻见解：
- LVR与CI期权资金费用等价
证券投资中期权资金费体现时间价值消逝，报告证明AMM中LP的系统性损失恰对应此资金费，形成“资金费=对冲损失”的严格数学等价关系。[page::7][page::8]
- 流动性头寸与单一CI期权的匹配使得LVR恒定
精确构造的流动性头寸（集中流动性区间）左、右边界对应CI期权的行权和放弃价格，实现LVR近似平稳且与资金费q相近，有利于LP提前预估和固定未来成本。[page::8]
- 离散化和资金费率有限带来的误差很小，可操作性强
实证表明，通过有限数量CI期权组合，LP能几乎完美复制AMM头寸的delta曲线，误差控制在千分之一量级，兼顾资本成本和操作便捷性。[page::10]
- 基于市场隐含波动率数据的波动率校准架构
利用市场中不同期限隐含波动率曲线，通过平均退出时间等理论量化，LP可获取“永久”头寸的有效波动率，完成资金费率和流动性区间的合理匹配，提升策略的市场敏感性和实效性。[page::11][page::12]
- 为LP风险管理和流动性配置提供指导方向
结合理论和经验数据，报告为LP在DeFi市场中如何选定持仓宽度、期限和价格区间，衡量即期与未来损失，平衡收益和风险提供了科学依据。[page::13]
此外，报告揭示未来挑战与拓展空间，包括引入动态波动率模型、非对称流动性区间设计、链上期权交易市场构建，以及纳入实际交易成本与市场摩擦的完善模型，推动DeFi金融工具体系更加成熟和完善。
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综上，该文提供了DeFi AMM价值对冲的首个精确且可量化的期权理论解释，理论贡献和应用价值兼备，对流动性提供者策略制定和风险管理具有重要意义。
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参考文献摘选（部分）
- [16] Milionis et al. 关于AMM中LVR的基本定义和过去的经验研究。
- [5] Ciurlia & Caperdoni关于永久连续分期期权的闭式解。
- [1][2] Uniswap V2/V3白皮书，CFAMM具体实现基础。
- [3] Black & Scholes经典期权定价模型。
- [9][12][15] 多篇研究流动性池、对冲及风险的近期文献，对比和补充本文贡献。
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图表引用示例
- 图1：[
- 图2：
- 图4：
- 图7：
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【全文引用溯源】:
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![4][17]，AMM成为关键基础设施，通过算法定价实现代币交换。](./images/6517a74905c7c3e8eaaf85c51423dc94d05798fd4e980f42058c15272184698c.jpg?page=3){kind=link}