研究背景与问题设定 [page::0][page::3][page::4]

• 个体需选择最优时间将退休财富转换为终身年金以对冲长寿风险和市场风险。

- 财富投资于有股息的几何布朗运动基金，死亡率由带跳跃的分段确定性马尔可夫过程（PDMP）建模。

• 最优问题为三维最优停止问题，涉及财富、跳跃次数、死亡率状态。

- 利用PDMP结构将问题递归转化为一系列一维最优停止问题。

死亡率建模创新与理论贡献 [page::1][page::2][page::3]

• 采用片段确定性马尔可夫过程捕捉个体主观死亡率的跳跃风险，包括罕见大冲击及频繁小变动。

- 成功将复杂高维问题降为一维，通过递归动态规划揭示五种不同的最优年金策略结构。

• 证明值函数满足自由边界问题，边界处具备平滑贴合性质，结构完备且参数敏感。

数值研究与参数敏感性分析 [page::9][page::11][page::12][page::13][page::14][page::15][page::26]

• 设定单次健康冲击，健康冲击发生后死亡率保持不变或翻倍。

- 设定初始死亡率与金融参数匹配现实数据，健康冲击平均延迟10年出现。

• 年金化阈值随着健康冲击后死亡率变化显著调整，例如死亡率翻倍使阈值更高，个体更趋向推迟年金化。

- 年金化决策对保险公司估计死亡率（客观死亡率）、健康冲击概率和冲击强度敏感。

• 费用K正负显著影响策略，当K>0（手续费）时，有三种截然不同的策略区间形态；当K<0（激励）时，表现为立即或区间化年金化。

- 标准优化阈值如阈值$b_*=20383.66$美元在K=1500场景中被求出，表现为低于其财富时继续投资，高于时年金化。

理论性质与自由边界问题刻画 [page::15][page::16][page::19][page::23]

• 值函数对财富变量单调、凸、Lipschitz连续且在自由边界平滑过渡。

- 价值函数满足包含跳跃死亡率转移的偏微分方程，形成本质的自由边界问题。

• 证明多阶递归关系维护了价值函数良好性质，保障数值和理论分析的稳定性。

数学及模型方法论贡献 [page::4][page::6][page::27][page::29]

• 明确模型归结为有限跳跃PDMP结构下的最优停止问题，动态规划原理（DPP） 导致递归一维优化问题。

- 利用谱理论和正则性证明工具，得到齐次常微分方程对应的基解构成，确保解析解存在。

• 利用跳跃死亡率和保险公司定价差异，构建个体主观价值“money’s worth”函数，严密刻画经济解释。

金融研究报告深度分析报告

报告标题: OPTIMAL ANNUITIZATION WITH STOCHASTIC MORTALITY: PIECEWISE DETERMINISTIC MORTALITY FORCE
作者: Matteo Buttarazzi, Tiziano De Angelis, Gabriele Stabile
报告机构: 多所欧洲高校（如都灵大学、罗马大学）
发布时间: 2025年3月（博士论文完成时间）；当前研究较新，涵盖2024-2025年最新成果
主题: 退休财富最优终身年金购买时机的决策问题，融合金融市场风险与随机寿命风险，以确定最优年金兑换策略

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1. 元数据与报告概览

本研究围绕个体如何在面临金融市场波动及寿命不确定性时，确定将退休积蓄转换为终身年金的最优时间。资产投资于支付股息的基金，市场风险由几何布朗运动（Geometric Brownian Motion, GBM）描述；寿命(死亡率)不确定性则以片段确定性马尔可夫过程（Piecewise Deterministic Markov Process, PDMP）模拟，允许死亡率在不连续跳变中发生突变，表现健康冲击影响。

核心论点是：最优年金兑换时机可被视作一个三维（基金价值，跳变计数，当前死亡率）最优停时问题，利用PDMP的结构特征，将问题递归降维为嵌套的一维停时问题求解。报告理论上解析了最优规则，揭示五种不同停时结构，体现金融风险与人口统计学风险的复杂交互。同时，通过数值模拟演示了健康冲击如何影响终身年金兑换阈值，并对模型关键参数进行了敏感性分析。

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2. 章节逐项深度解读

2.1 引言与模型创新（第0-2页）

• 研究背景：终身年金作为对抗长寿风险（资不抵债风险）和市场风险的保险工具，年金购买是不可逆且一般不遗留遗产，故购买时机选择十分关键。

- 模型创新点：
- 寿命不确定性建模采用PDMP，结合不连续跳变（健康冲击）与确定性演变，突破传统的常数或确定性死亡率模型，囊括随机跳变扩大了模型现实意义。
- 引入个体主观死亡率与保险公司客观死亡率区分，反映购买者与市场对寿命风险的不同评估。
- 形式化资产为支付股息的GBM，寿命跳变与金融过程独立，年金购买时机视作最优停时问题。

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2.2 寿命模型及文献综述（第1页）

• 死亡率建模演变：

- 初期文献多采用常数死亡率（数学简便性），不足以捕捉年龄增长带来的死亡率变化。
- 进一步采用确定性时变死亡率，能体现年龄递增趋势。
- 近年来，基于Lee-Carter扩展的随机死亡率模型日渐流行，部分引入跳变过程以反映突发健康事件对死亡率的影响。

• 本文创新定位：

- 结合PDMP与健康冲击，建立死亡率的连续时间随机、跳变模型。
- 显著区别个体主观死亡率与保险公司客观死亡率，引出个人预期与市场定价的矛盾，丰富了年金购买动因的数学表达和经济解释。

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2.3 数学贡献与问题结构（第2页）

• 多维最优停时问题（基金价值$Xt$，跳变次数$n$，当前死亡率$\mu$）通过PDMP结构递归降为一维最佳停时问题的序列解决，大幅简化问题复杂度。

- 发现五种形态（包含从无阈值到区间阈值、上下两侧停止集合等多样停时结构），反映在不同参数下，最优换年金策略的丰富经济含义。

• 理论保证价值函数满足自由边界问题且具平滑粘合(smooth-fit)性质，保证求解的数学严密性。

- 研究结构：模型建构、数值示例、定理证明流程明确划分。

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2.4 模型具体设定（第3-5页）

• 金融市场：退休财富$Xt$遵循带有股息率$\alpha$的GBM

$$
dXt = (\theta - \alpha) Xt dt + \sigma Xt dBt
$$

• 寿命死亡率建模：随机死亡率过程$\chit = (nt, \mut)$，其中跳数$nt$与跳后的死亡率$\mut$均为PDMP，跳跃时间为指数分布，跳跃后死亡率根据分布$q(n,\mu,\cdot)$重新取值。

- 死亡时间$\taud$定义为强制跳时刻$\Theta$下的Cox过程时间转化，是非负且几乎必然有限。

• 生存概率与保险公司客观生存概率分别体现不同认识，个体预期使用随机死亡率。

- 优化问题：个体通过停时$\tau$决定年金购买时点，支付与回报包括前期股息、逝世时的遗产（由参数$\nu$调节）、以及年金支付（基于市场价格与个人估值之比例Money's worth）：

$$
\max{\tau} \mathbb{E}\Big[\int0^{\taud \wedge \tau} e^{-\rho t} \alpha Xt dt + \mathbf{1}{\{\taud \leq \tau\}} e^{-\rho \taud} \nu X{\taud} + P\tau \int{\taud \wedge \tau}^{\taud} e^{-\rho t} dt \Big].
$$

• Money's worth函数$\hat{f}(n,\mu)$描述个体对年金与市场价格之比，指标公平与否。

- 关键假设$\theta - \alpha - \rho - \mum < 0$保证问题有界。

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2.5 递归动态规划解构（第6-7页）

• 通过跳变次数有限$N$假设，实现递归动态规划（DPP）：

$$
V^N(x,n,\mu) = \sup{\tau}\mathbb{E}{x,n,\mu}\Big[ e^{-rn(\mu) \tau} \hat{f}(n,\mu)(X\tau - K) + \int0^\tau e^{-rn(\mu) t} \big[(\alpha+\nu\mu) Xt + \lambda{n+1} \hat{V}^N(Xt, n+1;\mu)\big] dt \Big],
$$

• 分析停时区域$S$和续持区域$C$，并证明最优停时规则存在。

- 引入扰动函数$M^N$表达延期至$\tau$的即时收益率增益。

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2.6 最优策略与结构定理（第7-9页）

• 定理2.6证明价值函数$V^N(x,n,\mu)$具有良好正则性（连续，二阶可微）。

- 定理2.7系统列举五类最优停止区域几何形态，按参数$K$符号不同分为：
- $K>0$（购入费用）下，存在不停止、单阈值、双阈值区间等多种停时形式。
- $K<0$（购入激励）下，极端情形为立即购买（停止区域全覆盖）或存在阈值下启停区间。
- $K=0$时，最优策略退化为单调选择。

• 经济解读：

- 费用越高，推迟转年金动机越强，尤其财富较低时尤其明显。
- 激励促使尽快年金化。
- 高资产者倾向早转换锁定收益，而资产较低者则倾向持续投资。

• 图1图解了$M^N$函数的典型形态与对应停时集。

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2.7 数值示例解析（第9-14页）

• 设定60岁意大利男性基准死亡率$\mu0 \approx 0.0446$，考虑单次健康冲击，跳跃率$\lambda1=0.1$（平均十年发生一次）。

- 影响健康状况跳变后死亡率维持$\mu0$或升至$2\mu0$的两种情形，概率分别为0.2和0.8。

• 估算调整后生命期望约16.22年，保险客观死亡率对应期望生命16.22年。

- 采用标普500及T-bill美国历史数据估算金融参数 $\theta=0.087858, \sigma=0.152952, \rho=0.0404$ ，保证利率$\hat{\rho} = 1.5 \rho$令年金具吸引力，分红率$\alpha=0.0615$，购入成本$K=1500$美元，遗产动机系数$\nu=0.35$。

• 数值目标：

- 求解单跳死率时$V^1$及对应阈值$x1^(\mu)$，发现后续阶段阈值显著升高（维持$\mu0$: 32772.84美元，升至$2\mu0$: 49028.47美元）。
- 初始阶段阈值$b \approx 20383.66$美元。

• 通过最小非负凸包法计算停时阈值，判断财富何时转换为年金。

- 经济意义：
- 低财富时购入固定费用压缩实际回报，刺激延后购买。
- 高财富随着费用相对降低且保证收入变得更有吸引力，促使购入。
- 健康恶化显著提升阈值，体现寿命降低降低年金价值。

• 图2图示阈值判定函数和价值函数，图3展示冲击前后阈值变化。

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2.8 敏感性分析（第12-13页）

• 探讨阈值对保险客观死亡率变动$\Delta$，健康冲击概率$p$，到达率$\lambda1$的响应：

- 增加$\hat{\mu}$使年金价格更公平，降低阈值$b$，激励更早购买。
- 增大保留原有较低死亡率概率$p$，主观预期寿命升高，阈值$b$上升，推迟购买优势。
- $\lambda1$表现出U型曲线：低至中值时升高冲击概率反而降低阈值，强化换年金动因；大幅增高使寿命缩短，阈值升高，减少购买倾向。


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2.9 激励负购入成本场景（第13-14页）

• 采购费用$K<0$激励购入，遗产动机增强（$\nu=0.6$）。

- 价值函数表现为争议低财富者更早购入年金（临界阈值 $b{} \approx 53639.08$美元），大幅高于基础正费用场景阈值。

• 健康冲击后保守策略为立即购入以规避后续寿命风险（图5显示停止区域扩展至全区间或大部分财富水平）。

- 示意图体现切换跳跃态下截然不同最优行为。

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2.10 常数死亡率情形理论分析（第15-19页）

• 聚焦无跳跃阶段$N$，分析价值函数性质：

- 证明价值函数有界、递增、凸且Lipschitz连续。
- 依变量与系数直接表达$V^N(x,N,\mu)$的线性增长及边界行为。
- 通过鞅和扩散生成元方法，价值函数满足标准自由边界方程。
- 通过分析即时盈利函数$M^N(x,N,\mu)$，细分五种可能的停时区域结构（与前文五种停时几何保持一致）。

• 光滑贴合条件(smooth-fit)成立，价值函数在边界处一阶导连续。

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2.11 具有跳跃的寿命过程扩展（第20-26页）

• 递归延展理论结果到任意跳跃阶段$n

- 价值函数保持有界性、凸性及Lipschitz连续。
- 停续持区域的可能结构体现五种案例，并保持价值函数光滑粘合。
- 推导价值函数满足多阶段自由边界问题，服从相应生成元方程和边界条件。

• 通过逐层诱导，保留对$M^N$函数的严格经济含义和数学结构。

- 量化估计价值函数随资产增大之线性增长极限，通过定义$Vn^\infty(\mu)$刻画。

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2.12 关键参数敏感及界面行为（第27-29页）

• 附录验证Money’s worth函数$\hat{f}(n,\mu)$满足关键不等式，保证转移时刻动态特点。

- 严格运用动态规划原则和随机过程融合理论，将非Markov跳跃-扩散过程整合到Markov框架进行分析。

• 金融与人口统计风险的独立性极大简化了计算并使问题可控。

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2.13 总结性观点

本报告全面解析了基于金融投资+随机寿命（含健康冲击）的退休财富终身年金兑换的最优停时问题。其核心贡献在于：

1. 建立了考虑死亡率突发跳跃的PDMP模型，极大丰富了寿命风险建模。

2. 结合最优停时理论及扩散生成函数，提出紧凑的递归结构方法，实现问题降维及可解性。

1. 系统归纳了五大类年金兑换区域结构，涵盖不同费用激励场景及寿命变化。

4. 数值模拟表明，健康冲击后寿命恶化极大提高兑换门槛，推迟年金购买时间。

1. 参数敏感性分析体现保险市场标价、健康冲击概率及频率对个体转年金决策的深刻影响。

6. 注重数学分析的严谨性（平滑适配、边值问题、鞅性质验证），确保结论的理论稳健。

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3. 图表深度解读

图1 (第8页) — $M^N(x,n,\mu)$可能形态

• 显示四种典型函数形状：单调递减趋于正或负界限、二次型谷底、单调递增。

- 对应不同的年金购买策略结构：从永不购买到区间购买再到区间外购买等。

• 重点说明$M^N$随财富变化的盈利性趋势决定了停时区域形态。

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表1 (第10页) — 模型参数汇总

• 详细列出金融参数（$\theta$，$\sigma$，$\rho$，$\alpha$）和寿命模型参数（基础死亡率$\mu0$、冲击强度$\lambda1$、健康冲击概率$p$）等。

- 反映施试个体经济行为背后的实际估算基础，增强模型实证关联性。

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图2 (第11页) — 年金前最优停时阈值界定

• (A) $\hat{w}1$（被支配函数）与其最小非负凸包$U$的形态，凸凹交替说明问题非平凡。

- (B) 价值函数$V^1(x,0,\mu0)$与停时阈值$b\approx 20383.66$美元，曲线与线性边界贴合，反映平滑适配。

• 说明个体当财富低于阈值时选择延迟换年金，以积累更多财富。

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图3 (第12页) — 冲击后阈值调整

• 左图：冲击未改变死亡率，阈值由20383.66升至32772.84美元。

- 右图：冲击导致死亡率翻倍，阈值升至49028.47美元，体现健康状态恶化推高换年金门槛。

• 停时区间与持有区间在财富日期-状态维度清晰分割，教科书式示范异态下的策略切换。

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图4 (第13页) — 参数敏感性分析

• (A) 保险客观死亡率变化$\Delta$与阈值$b$呈反比变化，说明保险定价对个体决策影响深远。

- (B) 健康冲击存活概率$p$升高，阈值增长，个体倾向推迟年金购买。

• (C) 冲击强度$\lambda1$表现U形曲线，说明风险和时机之间存在非线性博弈。

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图5 (第14页) — 负购入成本下价值函数与阈值

• (A) 凸包$U$形态显示价值函数更为复杂，高财富区间最大化迎合现金流激励。

- (B) 阈值$b_{}$大幅提升至53639.08美元，购入激励放大了换年金动机。

• (C) 跳变后死亡率增加时，停时时间区域局部缩小，新阈值仅9673.02美元，示显著策略变化。

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图6 (第19页) — $W^N$五种典型形态

• 直观展现五种连续凸包形态对应的停持区，分别涵盖无停、单侧、双侧区间等多种策略。

- 是理论分析中多案例结构的图形化直观表达。

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4. 估值分析摘要

• 主要估值技术为最优停时理论与随机分析的结合，资产价格遵循几何布朗运动，价值函数通过HJB方程或自由边界问题求解。

- 采用递归动态规划解构多阶段模型，嵌套停时问题参数化处理，极大降低问题维度。

• 核心估值元素之一为Money’s worth$\hat{f}$，反映个人主观死亡率与市场定价差异。

- 价值函数边界条件由类型参数$K$及遗产动机$\nu$影响，形成多样自由边界。

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5. 风险因素评估

• 两大风险源：市场风险（股票价格波动标的基金），寿命风险（未知的随机死亡率，健康冲击）。

- 寿命跳变模型把个体健康波动及大病冲击的不确定性合理纳入。

• 资产流动性风险体现于购入年金后资本锁定。

- 价格风险体现在保险公司定价和个体估值的差异，可能导致个体主观价值判断的误差。

• 该模型关注的最大风险莫过于寿命风险建模偏差和市场风险独立性假定可能不适用的现实问题。

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6. 审慎视角与细微差别

• 尽管递归降维突破三维复杂度，但多层嵌套公式使得闭式解较难，结果大多依赖数值例证，部分假设（如市场与寿命风险独立）略显理想化。

- 购入成本$K$的设定对策略形态影响巨大，实际操作中费用结构更复杂，可能影响策略适用性。

• 可拓展性待测试，如多跳跃、多种死亡率分布形式，动态变动风险参数等。

- 模型未明确考虑税务、通胀、医疗费用等现实因素，适用范围暂时限定在定量理论分析。

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7. 结论性综合

本报告构建了一套新颖严谨的退休财富年金最优购买时机模型，结合了金融市场风险与随机跳变的寿命风险。系统地利用PDMP模型刻画了健康冲击下的死亡率跳变，实现了三维最优停时问题到一维递归问题的降维求解。理论上完全解析了价值函数的性质及对应的最优策略，其多形态停时区域体现出不同市场与个体参数下丰富多变的行为轨迹。

关键表格和图表深入揭示了财富水平、健康冲击、市场条件及保险定价对年金购买决策的深远影响。敏感性分析清晰展示了参数微调对购买阈值的反馈机制，体现理论模型的实际指导意义。

综上，作者基于强大数学工具结合精细经济建模，提出了成熟的终身年金最优投资策略框架，既具经济启发，也具学术价值，适合作为后续寿险产品设计与 retirees 财务规划的重要理论基石和参考。该理论的推广应用，有助于设计更灵活贴合实际需求的养老金产品，提升个体退休保障水平。

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参考标记

• 本文引用中所有论断均来自报告内文[page::x]所示起止页，部分段落汇聚多个页码交叉引用。

- 数值分析及图表解读，溯源自第8~14页以及之后的数值部分，理论推导部分主要位于第15~26页。

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