研究背景及问题定位 [page::1][page::2]

• 当前保险面临新风险（自然灾害、网络风险）带来的巨大挑战，传统保险难以覆盖重尾高风险。

- 参数化保险（基于指标的赔付）作为解决高频率、高不确定性风险的技术手段，优势在于减少理赔成本、加速赔付速度和降低诉讼争议。

保险产品设计框架与指标定义 [page::3][page::4][page::5]

• 搭建混合保险模型：传统保险承担至阈值$s$的赔付，超过$s$部分由基于索赔后观测到的指标$\mathbf{W}$的赔偿函数$s\phi(\mathbf{W})$承担。

- 定义优化指标$\mathfrak{L}X = E[L(\frac{X}{Y} - f(\piX))]$，其中$X$为赔付，$Y$为损失，$f$体现对高保费的厌恶，$L$为目标函数（线性或指数型）。

• 该评价指标克服重尾分布可能导致的期望不存在问题，关注赔付比例而非差额，更真实反映赔付性能。

参数估计与优化方法 [page::7][page::9][page::11]

• 基于历史数据$(Yi, \mathbf{W}i)$，通过极值理论假定条件尾分布属于Pareto类型。

- 初步估计尾指数$\gamma(\mathbf{w})$和条件存活函数$S(s|\mathbf{w})$，再基于丰富的指标数据$\mathbf{W}$通过两步法优化赔付函数参数$\theta$。

• 理论证明两步估计的一致性及收敛速率，保证参数估计的统计有效性，并降低对损失经济数据稀缺的敏感度。

模拟数据分析与实证研究 [page::15][page::17][page::19][page::21]

• 模拟设置中，索引$\mathbf{W}$服从均匀分布，损失$Y$条件于$\mathbf{W}$呈Pareto分布，设计了指定的赔付函数族。

- 实验结果显示，目标函数的近似解${\mathfrak{L}}^*$高度吻合真实指标$\mathfrak{L}$，两步估计显著提升了指标估计精度和收敛速度。

• 美国龙卷风损失数据实证，确认重尾特性及空间索引的显著作用，实证结果支持算法的稳定性和实用性。

与传统限额赔付合同比较 [page::24]

| 指标 | 传统限额赔付合同 | 混合指数保险合同 |
|---------------|-----------------|-----------------------|
| 赔付上限 | 固定$m$ | 阈值$s$ + 指数赔付 $s \phi(\mathbf{W})$ |
| 保费负担 | 较高 | 指数部分保费较低，整体成本可控 |
| 赔付效率 | 赔付率随保费上升递减 | 赔付率较高，且随保费指数部分降低提升竞争力 |

• 结果显示，在等价保费下，混合合同的实际赔付比例高于传统合同；指数保险的低运营成本显著提升产品吸引力。

结论与未来方向 [page::26]

• 提出结合传统与参数化保险的混合方案，适合重尾风险管理，提升了赔偿效率和速度，降低了理赔成本。

- 两步估计方法有效解决了重尾数据稀缺问题，展现了其在保险产品设计中的广泛应用潜力。

• 未来可进一步考虑理赔速度、客户行为偏好等因素，实现更精准的保险合同设计优化。

金融研究报告详尽分析报告

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一、元数据与概览

• 报告标题：Combination of traditional and parametric insurance: calibration method based on the optimization of a criterion adapted to heavy tail losses

- 作者：Olivier Lopez, Daniel Nkameni

• 发布机构：CREST Laboratory, CNRS, Groupe des E´coles Nationales d’E´conomie et Statistique, Ecole Polytechnique, Institut Polytechnique de Paris；协作者为Detralytics公司

- 日期：2025年7月25日

• 主题：设计一种结合传统保险和参数化（指数型）保险的混合型保险产品，应用于重尾风险（heavy-tailed losses）损失下的保险合同校准和优化，主要针对自然灾害等灾难性风险。

该报告核心论点是提出并研究一种针对重尾风险的混合型保险产品，这种产品在传统保险赔付上限之上引入参数化赔付部分，利用事故发生后立即可获得的指标信息（covariates）实现快速理赔和降低理赔成本。该设计基于重尾分布（Pareto类型损失）特点，优化旨在最大化赔付与损失的比率，且考虑了对高保费的规避。理赔设计经过了理论分析确定其收敛速度，并通过模拟及美国龙卷风真实数据进行了实证验证。结果表明该混合型产品优于传统仅有赔偿上限的保险合同。

关键词包括：参数保险、重尾分布、自然灾害、赔偿上限合同。

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二、逐节深度解读

1. 引言部分

关键论点与信息

• 随着气候变化和新型风险（如网络风险）的出现，自然灾害的保险可行性受限，保险空缺加剧。

- 参数化保险作为一种指数型保险，通过基于可观测指标而非真实损失本身的赔付机制，在面对频率和严重性高度不确定风险时提供了实际可行的保障工具。

• 参数保险优点包括数据可得性较好、赔付机制简化可快速理赔、降低理赔成本，并有助于法律纠纷减少。

- 同时参数保险便于发行衍生金融工具（保险联结证券，ILS），向资本市场转移风险。

• 在重尾风险的背景下，传统保险完全覆盖极具挑战甚至不可行，参数保险作为补充提高保护可负担性且效果更佳。

- 市场中已有对风险的参数保险设计方法，但本报告提出以赔偿与损失比率的最大化为目标，规避了损失期望可能无穷的理论与实务难题，更利于说明产品实际表现。

作者的贡献总结

• 提出一个可针对重尾分布设计的衡量指标，结合传统保险和参数保险，最优化赔偿方案。

- 提出基于可观测指标信息统计估计方法，解决实际数据有限问题。

• 在模拟和龙卷风真实数据中验证方法的有效性和优势。

- 与传统赔偿上限合同做出比较，实证展示优越性。

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2. 保险框架与指标构建

2.1 优化指标定义

• 损失变量记为 \(Y\)，服从重尾分布，生存函数满足 \(SY(t) = P(Y \geq t) = \frac{l(t)}{t^{1/\gamma}}\)，其中 \(\gamma>0\) 为尾指数，\(l(t)\) 局部慢变函数。

- 定义赔付变量 \(X\)，关注比例指标 \(X/Y\)，比单纯使用 \(X-Y\) 差值更适合描述重尾情形下的相对覆盖度，避免统计量无意义（如期望无穷）。

• 目标最大化期望函数：

\[
\mathfrak{L}X = E\left[L\left(\frac{X}{Y} - f(\piX)\right)\right]
\]
其中，\(L(\cdot)\)是非减函数表征赔偿效用或风险态度，\(f(\cdot)\)也是非减函数，用以体现对高保费的规避，\(\piX\)为纯保费。

• 比如取 \(L(x) = x\) 为线性指标，或用 \(L2(x) = -\exp(-\mu x)\) 引入风险厌恶及稳健性优势。

2.2 保费规避函数选择

• 保费规避函数 \(f\) 例子包括sigmoid型 \(fl(\pi) = \frac{\kappa}{1+\exp(-\beta \pi)}\) 或有理分式 \(fr(\pi) = \frac{\kappa \pi^{\beta}}{1+\pi^{\beta}}\)，参数 \(\kappa, \beta\) 控制惩罚力度。

- 通过分析导数情况，定性讨论在有限期望损失或无穷期望情况下，保险购买者对全面保障愿意支付高保费的不同态度。

• 合理的 \(f\) 形状应根据真实数据校准，筛除不符合基本行为假设函数。

2.3 混合保险产品结构

• 定义赔付：

\[
X\phi(s) = Y \mathbf{1}{Y \leq s} + s \phi(\mathbf{W}) \mathbf{1}{Y > s}
\]
其中，\(s\) 为阈值，\(\mathbf{W}\) 是索赔后可立即观测的指标（covariates），\(\phi(\mathbf{W})\) 是用于超出阈值赔付的参数化函数。

• 设计理念是传统保险覆盖到 \(s\)，超过 \(s\) 部分通过基于指标的参数赔付实现风险转移和快速赔偿。

- \(\phi(\mathbf{W})\) 通常大于1但允许小于1来平滑避免过度赔付，且总赔付不应超过实际损失，以保证保险合理性。

• 纯保费 \(\pi^\phi(s) = E[X\phi(s)]\) 假设存在且有限，即使在 \(E[Y]=\infty\) 时，也需满足此条件保证合同合理。

2.4 参数化赔偿函数的选择

• 定义函数族 \(\mathcal{F} = \{\phi\theta: \theta \in \Theta\}\)，通过最大化经验目标函数选出最优参数 \(\hat{\tilde{\theta}}n(s)\)：

\[
\hat{\tilde{\theta}}n(s) = \arg \max{\theta \in \Theta} \frac{1}{n} \sum{i=1}^n L\left(\frac{X{\theta,i}(s)}{Yi} - f(\hat{\pi}\theta(s))\right)
\]

• 标准 \(M\)-估计理论表明，当 \(\dim\ \Theta \ll n\) 时，该估计收敛速率为 \(OP(n^{-1/2})\)。

- 实践中同时拥有 \(Y, \mathbf{W}\) 很困难，而 \(\mathbf{W}\) 相关数据更易获得。

• 基于此，后续提出两步估计程序提升收敛速率。

2.5 触发机制基于指标的扩展

• 实际中参数化赔付触发无法完全依赖 \(Y\) （需耗时专家审核），故利用指标 \(\mathbf{W}\) 构造近似触发机制：

\[
X^(s, \tilde{s}) = Y \mathbf{1}{s \phi(\tilde{\theta}(s), \mathbf{W}) \leq \tilde{s}} + s \phi{\tilde{\theta}(s)}(\mathbf{W}) \mathbf{1}{s \phi{\tilde{\theta}(s)}(\mathbf{W}) > \tilde{s}}
\]

• 近似触发可能出现两个错配情况：未触发但应触发、触发但不应触发，需合理选择 \(\tilde{s} < s\) 控制错配概率。

- 命题2.1表明根据指标触发的赔付目标函数值与理想触发差异由错配概率控制，优化时可使用简化方式。

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3. 目标函数的近似与估计方法

3.1 目标函数 \(\mathfrak{L}\theta(s)\) 的近似

• 基于重尾分布参数的条件尾模型假设：条件生存函数 \(S(t|\mathbf{w}) = P(Y \geq t|\mathbf{W}=\mathbf{w}) = \frac{l(t|\mathbf{w})}{t^{1/\gamma(\mathbf{w})}}\)，\(\gamma(\mathbf{w})\) 尾指数随指标变化，\(l(\cdot)\) 局部慢变函数。

- 条件尾分布保持Pareto型，切换到健壮函数 \(L\)、价格规避函数 \(f\) 的具体假设（Assumptions 1-3），保证可以用统一形式近似目标函数。

• 主要结果（Theorem 3.1）：

\[
\mathfrak{L}\theta(s) = L(1 - f(\pi\theta(s))) \times E\left[1 - S(s|\mathbf{W}) \Phi0(\phi(\theta, \mathbf{W}), \gamma(\mathbf{W}))\right] (1 + \mathfrak{R}\theta(s)),
\]
其中 \(\Phi0\) 是与优化损失函数和尾指数相关的已定义函数，余项收敛至0。

• 此表达式将价格影响和赔付覆盖率分解为两项相乘，有利于理解与计算。

3.2 两步替代估计程序

• 利用两套数据：

- \((Yi, \mathbf{W}i){1 \leq i \leq n}\)：含损失和指标的有限数据
- \((\mathbf{W}j){1 \leq j \leq m}\)：大量只含指标数据

• 第一步：从小样本估计条件尾分布 \(\hat{S}(s|\mathbf{w})\)、尾指数 \(\hat{\gamma}(\mathbf{w})\)

- 第二步：利用大量指标样本构造目标函数估计
\[
\hat{\mathfrak{L}}^\theta(s) = \frac{1}{m} \sum{j=1}^m \Psi\left(\hat{\pi}\theta(s), \phi(\theta, \mathbf{W}j); \hat{S}(s|\mathbf{W}j), \hat{\gamma}(\mathbf{W}j)\right)
\]

• 优化该估计，实现更好的参数估计与模型精度。

3.3 收敛率理论保证

• 在一系列分析假设基础上（函数光滑度、估计的稳定性等，见 Assumptions 4-6），证明估计 \(\hat{\tilde{\theta}}^(s)\) 能以至少与条件尾分布估计相同的速度收敛于最优解 \(\tilde{\theta}^(s)\)。

- 定理3.2给出估计参数的精细渐近分解，对误差分解明晰，包括一项经验模拟误差和另一项由尾分布估计误差引入的偏差。

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4. 模拟数据实证分析

4.1 设置

• 指标 \(\mathbf{W}\) 服从均匀分布，损失 \(Y\) 条件于 \(\mathbf{W}=w\) 服从Pareto分布，尾指数形如 \(\gamma(w) = e^{-a - b w}\)，取值范围 \([0.2,0.7]\)。

- 阈值 \(s\) 选为损失85%分位，参数化支付函数 \(\phi\theta(w) = \frac{1}{s} \max\{\min[E(Y|Y > s, \mathbf{W}=w), e^{\theta w}], s\}\)，确保无过赔与无低赔。

• 损失函数选用非线性风险厌恶型 \(L2(x) = -\exp(-1.5 x)\)，价格规避函数用分式函数 \(fr\)，参数通过模拟设置。

4.2 结果

• 图1(a)显示完整样本下目标函数 \(\mathfrak{L}\) 和其近似 \(\mathfrak{L}^\) 极为接近，验证了近似的合理性。

- 图1(b)显示最优 \(\theta\) 对应的赔付函数与理想赔付（真实损失）高度吻合，表明该方法可获得较优补偿匹配。

• 采用两步估计策略，在有限大小 \(n\) 的联合样本下，估计精度优于直接在该小样本中估计的单步方法，且随着 \(n\) 增加其误差显著减少（图3）。

- 参数 \(a,b\) 的估计随着样本大小收敛（图2），表明尾指数拟合稳定。

• 该方法在模拟数据情境下有效，尤其适合数据稀缺情形。

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5. 美国龙卷风真实数据实证分析

5.1 数据与假设

• 采用2016-2023年美国龙卷风损失数据（共4659条），损失定义为单位面积损失 \(Y = \frac{\text{loss}}{\text{length} \times \text{width}}\)。

- 指标向量采用龙卷风平均地理位置两维 \(\mathbf{W} = (W^{(1)}, W^{(2)})\)。

• 假设条件损失服从广义帕累托分布（GPD），尾指数参数 \(\gamma(\mathbf{w}) = e^{-a - b w^{(1)} - c w^{(2)}}\)。

- 赔付函数形式借鉴模拟数据，采用条件上分位数替代条件均值，保证统计量定义性。

5.2 结果解读

• 图5(a)(b)显示拟合参数空间内目标函数 \(\mathfrak{L}^\) 关于 \((\theta1, \theta2)\) 严格凹，存在唯一最优参数组合。

- 不同阈值对应的目标函数值呈递增趋势，表明针对更极端损失可设计更优的参数合约。

• 分析阐释传统赔偿假设保险足额赔付下限风险，实际赔付效率未必理想，参数保险适用于极端损失更为合理。

- 参数 \(a,b,c\) 估计随样本量增长趋于稳定，确保两步方法的稳定性（图8）。

• 实证充分支持两步估计提升参数估计效果，且对数据稀缺地区应用意义大。

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6. 混合合同与传统赔偿上限合同的比较

合同定义

• 赔偿上限合同定义：

\[
X^{ST}(m) = \min(Y, m)
\]

• 混合合同定义：

\[
X^{HB}(s) = Y \mathbf{1}{Y \leq s} + s \phi{\theta}(\mathbf{W}) \mathbf{1}{Y > s}
\]

两者均含赔付上限，但混合合同超出阈值部分引入指标赔付，理论上提高赔偿灵活性和保护度。

比较方法

• 对于给定混合合同阈值 \(s\) 和指标赔付加载保费 \(\tau^i\)，计算混合合同保费 \(\pi^{HB}(s)\)。

- 通过函数 \(m(s)\) 使得对应赔偿上限合同保费 \(\pi^{SL}(m(s)) = \pi^{HB}(s)\)，实现同价比较。

• 研究不同 \(\tau^i\) 下 \(m(s)\) 与 \(s\) 关系及赔付率 \(\mathbf{E}[X/Y]\)。

- 结果（图7）显示：
- 对于大阈值 \(s\)，对应的 \(m(s) < s\)，即同价混合合同实际上对应的赔偿上限合同赔偿限额更低。
- 随着指数部分加载费降低，混合合同赔偿比率明显优于赔偿上限合约，凸显混合模式在极端重尾风险覆盖上的优势。

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三、图表深度解读

图1 (页17)

• (a) 显示样本全部数据中目标函数 \(\mathfrak{L}\) 与近似 \(\mathfrak{L}^\) 随参数 \(\theta\) 变化的曲线，二者线型极其接近，验证了近似函数在实际估计中的可用性及有效性。

- (b) 在最优 \(\theta\) 下， plotted payout函数与理想赔付（真实损失）比较，赔偿策略能够有效限制过赔（不超过条件均值）及不足赔偿（不低于阈值 \(s\)），保证赔付合理性。

• 点聚集说明模型拟合优良且赔偿策略稳健。

图2 (页18)

• 显示参数 \(a\) 与 \(b\) 随使用样本量增加的估计轨迹，统计量呈收敛趋势，表明条件尾指标的稳定估计。

- 估计值稳定在真实参数附近，支持模型假设和估计策略的准确性。

图3 (页18)

• (a) 随样本量增加，单步估计误差 \(\|\mathfrak{L}n - \mathfrak{L}{ref}\|\) 与两步估计误差 \(\|\mathfrak{L}n^ - \mathfrak{L}{ref}\|\) 都显著下降且两步方法表现优于单步估计。

- (b) 不同估计方法优化得的目标函数值与参考值比较，两步估计更贴近参考值，表现出更好的优化效果。

图4 (页20)

• 地理空间展现龙卷风单位面积损失，红色三角表示大于85%分位的极端损失，蓝色点表示较小损失。

- 极端损失分布广泛，揭示无地理区域能完全免疫极端龙卷风损失，强调产品在全美范围的覆盖需求。

图5 (页22)

• (a) 双参数空间中目标函数 \(\mathfrak{L}^\) 曲面图，凸显目标函数严格凹性，存在唯一最优点。

- (b) 目标函数值对阈值 \(s\) 变动曲面，阈值增加（关注更极端损失）时，目标函数值上升，反映保护效果改善趋势。

图6 (页23)

• 显示在真实数据中，估计误差随样本量增加而下降，两步估计方法始终优于单步估计，进一步证实理论与模拟结果。

图7 (页25)

• 分别对模拟和真实数据：

- (a)(c) 显示指数保险加载保费不同水平下，与混合合同同价的赔偿上限合同对应的赔偿限额 \(m(s)\) 相对于 \(s\) 的关系，发现 \(m(s)\) 总是低于 \(s\)。
- (b)(d) 为相同价格水平下两类合同赔偿率比较，混合合同的赔偿率优于赔偿上限合同，尤其当指数保险加载保费较低时差距更大。

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四、估值分析

• 报告未直接采用传统估值模型（如DCF、EV/EBITDA等），而是提出了基于赔偿损失比率与保费规避函数的目标函数进行优化估值。

- 估计纯保费为赔偿期望，再加加载系数构成销售保费。

• 目标函数一方面权衡赔付比例最大化，一方面规避高保费，体现保险产品设计中赔付效益与成本的双重考量。

- 该方法创新地使用统计学中重尾分布尾指数和条件尾概率，结合半参数模型和指标数据，实现对传统保险架构的估值补充和扩展。

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五、风险因素评估

• 设计中考虑了重尾分布导致的极端赔付风险，传统保险赔付全覆盖可能保费昂贵甚至无意义。

- 使用参数赔付降低了索赔评估成本，减少理赔延迟，但存在指标触发的basis risk。

• 触发机制基于指标的误触和漏触风险存在，影响赔付准确性和公平性。

- 模型中设置调节参数与误差界限，设计了保护保险人对超额赔付风险的保护。

• 数据稀缺，尤其是联合数据可得性较低，是参数估计和产品设计的关键风险点，报告提出的两步法和利用大样本指标缓解此风险。

- 未来可能的风险包括指标分布的结构性变化、赔偿函数模型假设失真、政策持有者行为异质性等。

• 报告未明确提出缓解策略，主要依赖严谨的统计估计与模型校准，要求足够数据支持。

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六、批判性视角与细微差别

• 报告在设计指标赔付部分时，简化假设触发条件以 \(Y > s\) 为准，现实中该条件基于指标 \(\mathbf{W}\) ，二者间的误差（basis risk）会影响产品实际表现，需关注该简化对结果的偏差影响。

- 赔付函数选择主要通过最优化过程校准，未充分探讨客户偏好、行为异质性对赔偿需求的影响，尤其风险厌恶度和时间偏好的差异。

• 价格规避函数 \(f\) 的参数多依赖外部校准，缺乏针对不同行为类型的敏感性分析。

- 估计方法假设条件尾指数光滑且参数空间维度较低，实际中可能遇到高维、非平稳或结构跳跃问题，影响收敛性和模型适用范围。

• 报告虽做理论证明与模拟验证，但实际数据分析仅限于美国龙卷风案例，表外推广需谨慎。

- 保险保障仅关注赔付比例，未充分考虑赔偿速度、理赔便利性、客户满意度等多维指标。

• 报告中对保费加载和成本节约间的权衡未展开深入讨论，若加载费结构不匹配，模型优势可能受限。

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七、结论性综合

本文提出并系统研究了一种结合传统赔偿和基于指标的参数化赔偿的混合型保险产品设计方法，针对重尾风险（如自然灾害损失）提出专门设计的优化指标，以最大化赔偿-损失比率减去保费规避函数的形式评价产品性能。理论上，该指标量化了在无法完全覆盖的高风险情景下，产品的相对赔付效果及客户对高保费的规避倾向。

主要贡献与发现包括：

1. 创新指标构建：采用重尾分布条件尾概率及尾指数的半参数模型，提出适合重尾风险的损失赔付比率最优化指标，克服了传统基于损失差值指标对无穷期望损失的适应弊端。
2. 两步估计方法：设计结合含损失与指标的有限联合样本与大量指标样本的数据利用方法，显著提升参数估计的收敛速度与稳定性，解决现实中损失数据稀缺的难题。
3. 模拟与实证验证：

- 模拟数据中，参数估计表现出良好的收敛趋势，最优参数下赔付策略贴近理想赔付。
- 真实美国龙卷风损失数据中，模型验证了对极端损失的适应性和潜在优越性。
- 两步估计明显优于一体化估计，具备更广泛应用价值。

1. 合同比较优势：

- 相较传统设固定赔偿上线的赔偿合同，混合型合同在相同价格条件下带来更高的预期赔偿比例，尤其在大额损失极值段表现优异。
- 该优势主要由于参数化赔付的更灵活设计及较低成本加载费。

1. 理论支持：

- 全文提供了充分的统计学理论支撑，包括目标函数近似理论（Theorem 3.1），估计一致性与收敛率（Theorem 3.2）。
- 细化的Donsker类条件保证了估计的渐近性质及优化的可行性。

1. 图表支持深刻理解：

- 图1的目标函数拟合体现方法可行；
- 图2,8反映关键参数随样本量收敛性；
- 图3,6展示两步估计法的显著提升；
- 图4的地理分布强调广泛覆盖需求；
- 图5显示目标函数严格凸性与阈值敏感度；
- 图7较直观展示混合合同相较赔偿上限合同的优越性。

总结来看，报告提出的混合型保险设计为面临极端风险的保险业提供了理论严谨、方法创新且从数据驱动视角精心设计的保险模型，兼顾了赔偿性能、成本控制和理赔效率，具备较强研究价值和实践推广前景。该方法尤其适合应用于新兴风险和经济损失数据缺乏的环境，诸如发展中国家环境下的自然灾害保险，提供了技术和统计学层面的重要参考方案。

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参考文献（节选）

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