研究目的与背景介绍 [page::0][page::1][page::3]

• 传统复杂期权定价模型（含跳跃和随机波动）常通过最小化隐含波动率误差校准参数，但可能导致模型隐含的方差期限结构与市场观测显著偏离。

- 本文提出联合校准框架，同时约束隐含波动率曲面拟合和方差期限结构（或VIX）拟合，缓解传统校准方法缺陷。

理论基础与框架设计 [page::2][page::4][page::7][page::12][page::14][page::18][page::19][page::20]

• 方差期限结构由期权价格隐含，经典理论（Neuberger, Dupire）模型无跳跃时表达为无模型依赖形式，一旦存在跳跃则依赖跳跃高阶矩。

- 利用方差互换（Variance Swap）价格与VIX指标构建正则化项，构成联合目标函数，包含超参数α用于权衡隐含波动率拟合与方差期限结构拟合的权重。

• 命题证明联合最小化问题的可观测性及理论合理性，并展示SJD模型下利用方差互换或VIX值简化参数识别，降低校准复杂度。

SPX期权数据分析与波动率/方差期限结构特征 [page::23][page::25][page::26]

• 使用OptionMetrics的标普500欧式期权数据，时间跨度1996年至2023年，剔除价格异常和无效数据，构建包含约900万条观测的期权面板。

- 统计描述显示明显波动率微笑与波动率偏斜，OTM看跌期权波动率整体高于OTM看涨期权，方差期限结构通常呈上升曲线，短期期权波动性更强。

模拟研究：Bates模型参数恢复与超参数α影响 [page::29][page::30][page::31]

• 基于Lindström等（2008）参数，采样1000组带有均匀扰动的Bates模型参数，利用联合目标函数校准。

- α=0时仅用方差期限结构拟合，BSIV误差较大；α=1纯粹用波动率曲面拟合，参数恢复率较低且方差期限结构拟合差。

• 中间α值（0.5-0.9）能同时保证方差期限结构和波动率面的良好拟合，参数恢复能力最佳，显示联合校准的有效性。

实证校准：标普500期权数据上的Bates模型拟合 [page::32][page::33][page::34][page::35][page::36]

• 使用标普500指数期权数据逐日校准Bates模型，在不同α值下检验拟合误差。

- 短期期权（1-9天）拟合误差最大，波动率曲面和VIX期限结构存在明显拟合权衡，α接近1时拟合波动率面最佳，α偏低时拟合方差期限结构最佳。

• 选用α=0.75或0.9可兼顾拟合准确性，无显著权衡损失。

- 订正后的模型拟合示例（图表展示多个期限隐含波动率曲线与VIX期限结构拟合效果），拟合表现符合预期。

跳跃分布与方差定价分析 [page::36][page::37][page::38]

• 利用拟合参数计算Carr等人提出的log contract乘数和方差互换-VIX价差，确认跳跃分布具有持续的负偏斜特征，且在市场危机时期表现尤为明显。

- 方差互换价差与乘数的时间变化反映市场对跳跃风险的动态定价，验证模型与实际市场风险偏好相符。

金融研究报告详尽分析报告

题目：《Joint calibration of the volatility surface and variance term structure》

作者：Jiwook Yoo

机构与发布时间：2025年9月11日发布

研究主题：期权定价模型的联合校准框架，特别关注隐含波动率曲面和方差期限结构的同时拟合

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一、报告概览与元数据

本报告旨在提出一种期权定价模型的联合校准方法，能够同时拟合市场隐含波动率曲面和市场观测的方差期限结构，解决当前仅基于隐含波动率最小平方误差校准方法下，模型方差期限结构与市场真实方差期限结构出现较大偏差的问题。作者尤其关注在包含跳跃扩散和随机波动率的复杂模型校准上，通过一个超参数控制对隐含波动率和方差期限结构拟合的权重，实现两者的均衡拟合。作者以Bates模型为例，并运用1996-2023年的标普500指数期权数据进行实证测试。最终提供了超参数选择的实用建议。

报告核心观点：

• 仅用隐含波动率来校准模型可能导致方差期限结构的拟合差异显著，甚至在隐含波动率表面拟合良好的情况下也存在。

- 增加关于方差期限结构偏差的惩罚项到校准目标函数中，可以绕过该问题，实现同时较好拟合隐含波动率和方差期限结构。

• 通过超参数控制两者拟合权重，校准模型更为灵活和现实。

- 检验结果表明，所提示的校准方法不仅能拟合市场数据，还能产生合理的方差期限结构，有助于研究方差风险溢价等问题。

关键词包括“模型校准”“波动率曲面”“方差期限结构”，表明此文为金融计量和衍生品定价领域的技术贡献。

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二、章节逐节剖析

2.1 引言 — 背景与问题定义

本节强调期权定价模型的根基是选择资产价格及其他状态变量的随机过程，并校准其参数以拟合市场价格。传统隐含波动率平方误差为目标的校准方式存在以下问题：

• 复杂模型（如跳跃-扩散模型、随机波动率模型）存在非凸、平坦等不适合数值优化的问题，训练失败或迭代不收敛。

- 即使优化成功，也会出现模型拟合的方差期限结构不符合市场经济现实，影响数据驱动的风险管理和风险溢价研究。

因此，提出一个新校准框架使得模型校准确保同时符合隐含波动率曲面和方差期限结构。

核心逻辑：标价期权价格隐含了风险中性方差期限结构信息，尤其是在跳跃存在时，信息虽更复杂依然可被利用。

2.2 理论基础与相关文献

本章理论基于有扩散项和跳跃项的风险中性资产价格过程。通过公式明确定义资产价格的随机微分方程（SDE），包括波动率过程\(Vt\)和跳跃过程\(Jt\)，以及它们的统计性质。核心数学工具为对资产对数价格的二次变差（quadratic variation），该量与方差互换（variance swap）价格相对应。

• 方差互换价格可视为\( 0 \to \tau \)期间资产对数价格的年化二次变差的风险中性期望。

- 当价格过程连续时（无跳跃），方差交换价格可通过对数合约价格静态复制获得，关系式明确（Neuberger, Dupire等）。

• 跳跃情况更复杂，复制关系需修正，跳跃分布的三阶及更高阶矩影响复制权重（carr等2021年工作及Carr等2012年）。

报告基于这些理论对期权市场隐含的信息如何用来校准模型提出方法。

文献回顾涵盖：

• 早期基于拟合方差或隐含波动率的最小二乘校准（Amin & Morton 1994， Bakshi等1997），

- 广义矩估计（GMM）框架（Chernov & Ghysels 2000， Pan 2002），

• 具有正则项结构的校准方法（Cont & Tankov 2003， 2004），并指出本方法与Andersen等（2015a）的工作较为贴近。

此外提到利用渐近波动率公式简化参数估计的技术，如Lee定理和Forde等（2010）的近似模型快速校准。

2.3 校准框架设计

2.3.1 简单跳跃扩散（SJD）模型识别案例

作者以跳跃扩散模型为例，展示利用方差互换价格信息如何将传统的二维校准问题转换为一维优化问题。

• 关键关系是方差互换无套利定价公式\[ V S(T; \lambda, J) = \sigma^2 + \lambda J^2 \]，其中\(\lambda\)为跳跃强度，\(J\)为跳跃大小。

- 已知市场方差互换价格，可用该式解出\(\lambda\)与\(J\)的函数关系，从而简化参数空间。

• 在无方差互换市场时，也可使用静态复制的VIX平方来近似替代方差互换，实现同样的降维效果（具体牵涉跳跃分布矩的截断）。

- 利用此方法，制作了校准目标函数的三维、二维与一维路径图（图1），说明在路径上优化目标函数更加稳定。

该小结兼具理论洞察与计算意义，说明方差期限结构信息在模型参数识别与校准中的重要性。

2.3.2 一般跳跃随机波动率模型

推广至包含随机波动率和跳跃多因素模型：

• 状态向量\(\Theta\)包含参数，目标是给定欧式期权市场价和（可能的）方差互换价格，反求\(\Theta^*\)。

- 构建目标函数为隐含波动率误差平方和加上方差期限结构误差惩罚项，二者权重用超参数\(\alpha\)控制。

• 定理与命题保证该目标函数是可观测的，即所有约束和误差定义均可通过市场数据和模型计算获得。

- 重要提醒：模型可能错配（mis-specification），此框架依然可求得“最佳拟合”模型参数。

该部分强调校准目标函数中的方差期限结构误差作为正则项，避免模型拟合隐含波动率但期权隐含方差期限结构荒谬的情况。

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三、图表与数据详细解读

表1（第26页）——标普500期权面板统计

• 数据涵盖1996至2023年，涉及近296万看涨期权和618万看跌期权合同。

- 按标准化的价内外程度（Moneyness）分为ATM（0-1）、OTM（1-2）、深OTM（2+）；又按剩余期限DTE分为0-9天，10-30天及30+天。

• BSIV存在明显的波动率微笑（smile）特征，深OTM尤其显著，特别是看跌期权深OTM BSIV最高，反映市场对下跌极端跳跃的担忧。

- 期权市场表现出显著的波动率倾斜（Skew），OTM看跌的隐含波动率普遍超过OTM看涨。

• 表中BSIV和期权价格均为百分比形式，样本容量巨大，显示数据覆盖广泛，具备严密的统计学代表性。

图2（第25页）——VIX期限结构

• 绘制了9天到12个月不同期限点的VIX指数均值及其标准误差。

- VIX期限结构总体呈上升趋势，短端较波动大，长期趋于平坦。

• 说明隐含波动率的时间聚合特性及市场对未来短期不确定性的敏感性。

图1（第17页）——SJD模型中目标函数形状

• 左图三维表现了目标函数随跳跃强度和跳跃大小变化的值，红色为高误差区域，蓝色为低误差区域。

- 右图为在满足观察VIX的约束路径上的目标函数曲线，明显凸型，便于数值搜索。

• 说明使用方差期限结构信息能有效降低参数估计维度，提高数值稳定性。

图3（第31页）——模拟校准VIX拟合误差

• 展示用不同\(\alpha\)（调节市场BSIV与VIX权重）校准1000组模拟数据时的VIX拟合误差。

- 近似VIX作为方差的误差普遍高于精确计算的VIX，提示使用VIX方差近似时需谨慎。

• 随着\(\alpha\)增加，误差整体升高，表明偏重BSIV拟合会牺牲VIX拟合质量。

图4（第35页）——2023年2月15日标普500期权隐含波动率拟合面分布和VIX期限结构

• 多个子图显示模拟模型拟合的期权隐含波动率笑脸与市场数据对比。

- 短期7天期权拟合存在偏差（Bates模型弹性有限），中长期拟合效果良好。

• 下方子图表明模型拟合的VIX期限结构与市场观察吻合较好，验证校准方法有效。

表2（第28页）——Bates模型初始参数及扰动范围

• 参数包含潜在方差初值、均值回复速度、波动率、跳跃强度和跳跃分布参数等，均匀分布扰动赋予多样参数组合测试。

表3（第30页）——模拟数据基于不同\(\alpha\)取值的误差结果

• 误差按不同moneyness分组展现，\(\alpha=0\)（只拟合方差期限结构）导致BSIV拟合误差显著较大。

- 当\(\alpha\)适中（0.1到0.9）时，BSIV拟合误差大幅下降，方差拟合误差适中，有利于平衡拟合。

• \(\alpha=1.0\)（只拟合BSIV）时参数恢复能力较强，但方差期限结构拟合欠佳。

- 模型参数的精确恢复率在中间\(\alpha\)水平达到最高，说明合理正则化能够促进参数识别。

表4（第34页）——实证标普指数期权不同DTE组的BSIV和VIX拟合误差

• 1-9天期权拟合误差最大，期权价格难以拟合该短期期权的高波动性。

- \(\alpha=0\)时，选项BSIV拟合最差，VIX拟合最佳；\(\alpha=1\)时正好相反。

• \(\alpha=0.75\)到0.9的取值使得两项误差均匀较小，是实证中推荐的调节区间。

图5（第36页）——不同\(\alpha\)值下模型拟合1个月VIX相对于市场VIX误差的时间序列

• 说明调节\(\alpha\)对长期拟合表现有显著影响，0.75及0.9能显著降低极端时期的拟合误差，体现出模型稳定性提升。

图6（第38页）——跳跃分布偏度指标与方差互换-VIX差异

• 左图：基于Carr等算法计算的log合约乘数，数值稳定大于2，表明跳跃分布具有负偏度，反映市场对负尾部风险的担忧。

- 右图：模型拟合的方差互换与VIX平方差的移动平均，长期为正且波动显著，尤其在市场危机期间，跳跃风险溢价显著。

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四、估值与模型技术细节解析

• 模型采用包含随机波动率的跳跃扩散模型——Bates模型。该模型综合了Heston随机波动率和Merton跳跃扩散框架。

- 期权定价采用Kirkby (2015)的PROJ法，即基于傅里叶变换的高效数值方案，适合复杂模型的快速校准。

• 方差期限结构定价使用可得的封闭表达式（Broadie & Jain(2008)），清晰地将模型参数映射到方差互换利率和VIX平方。

- 校准目标函数设定为拟合隐含波动率和方差期限结构的加权和，使用超参数\(\alpha\)平衡两者的重要性。

• 在校准过程中，发现在实证和模拟环境下，\(\alpha\)适当取值（0.5~0.9）能实现较优参数恢复和稳定性。

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五、风险与限制

• 模型错配风险：实际市场数据可能生成于非模型假设的真实价格过程，参数估计只能提供“最佳近似”，并非真实参数。

- VIX与方差互换近似偏差：当隐含跳跃风险存在时，VIX平方并非严格的方差互换价格，会引入误差，影响校准精度。

• 数值优化难点：目标函数非凸、平坦区域等特性依然可能导致局部最优和收敛困难，特别是在高维参数空间。

- 短期期权拟合困难：本科模型及跳跃框架难以捕捉极短期期权的高波动率和尖峰特征，反映出更复杂模型的必要性。

• 超参数敏感性：\(\alpha\)值选择在一定范围内较为稳健，但边界值选择可能导致对一边拟合的极端依赖。

缓解策略主要通过合理超参数选择、引入正则项和增强模型弹性，如改进跳跃参数设定或引入多因子波动率过程等。

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六、批判性视角与细节注意

• 报告依赖较重的假设，包括欧式期权无套利市场假设、连续市场交易和风险中性定价框架，在现实市场上的适用性受限。

- 方差期限结构与隐含波动率的理论关系在跳跃存在时较为复杂，虽然报告给出调整方法，但实际实施时难以量化高阶矩影响。

• 校准指标侧重最小二乘误差，未充分讨论模型不确定性、参数估计误差的统计性质及其经济含义。

- 使用VIX代表方差期限结构时，潜在偏差和震荡性较大，可能影响实际策略中方差风险溢价的估计。

• 校准结果依赖于大量市场数据及高效数值算法，计算资源需求较大，且实际对策略优化的影响尚需进一步研究。

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七、结论性综合总结

本报告围绕期权定价模型的联合校准展开，提出并验证了包含隐含波动率曲面与方差期限结构拟合误差的目标函数和校准框架。该框架以跳跃扩散模型及随机波动率为例，证明了单独拟合隐含波动率可能导致方差期限结构显著偏离市场，造成经济解释性不足和风险管理难题。通过引入超参数\(\alpha\)，模型能够实现隐含波动率与方差期限结构的权衡拟合，有效提升参数辨识准确性与模型现实感。

实证分析中，基于1996-2023年标普500指数期权数据，模型能够较好拟合隐含波动率曲面和VIX期限结构，尤其在\(\alpha\in(0.5,0.9)\)区间拟合表现最佳，支持在实际工程中该参数选择。模拟实验验证了校准方法的稳健性和参数恢复效能，同时揭示用VIX近似方差互换可能带来误差。

图表充分揭示了模型及校准框架的表面拟合与风险隐含特征：

• 图1展示了单独基于隐含波动率的非凸优化难题，联合方差期限结构提升了搜索的可行性；

- 表1与图2说明了丰富样本中期权市场隐含波动率的结构特征及波动性期限结构；

• 表3与图3细化了不同\(\alpha\)对误差结构的影响，指出适度正则化的效用；

- 图4、表4与图5展示了标普500实证数据拟合情况，验证了调节器作用；

• 图6揭示了跳跃风险分布的负偏度及其时变特征，为方差风险溢价的定量研究提供具体指标。

本文章的贡献在于理清并解决了期权模型校准中隐含波动率与方差期限结构两者的协调问题，为实务界和学术界提供了理论基础和操作指引，对期权市场风险定价和策略设计具有重要参考价值。

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参考文献与数学证明说明

报告的数学推导严谨，包含以下关键命题证明：

• 利用方差互换信号对跳跃参数的降维识别（命题1，2），将二元参数拟合转为一元问题。

- 一般过程模型下带有方差期限结构约束的目标函数可观测、且最优参数为真实参数（命题3）。

• 采用严格推导的积分表达式保证了VIX和方差互换价格的数学关系，适用带跳跃的金融模型。

整体论文也囊括了丰富的相关文献，从经典的Black-Scholes、Heston模型，到现代的跳跃扩散、方差互换理论及统计方法，系统体现了全面的学术积累。

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结束语

此项研究提供了一条兼顾期权市场波动率结构和方差期限结构完整信息的模型校准新路径，有助于提升金融衍生品模型的现实适用性与经济解释力。实践中合理选择超参数并结合高效数值算法，将是未来模型推广的关键。未来可进一步拓展至多资产、波动率微结构等复杂市场环境，深化对市场风险动态的理解与管理。

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报告