非保守性最优传输问题定义及动机 [page::0][page::1]

• 经典最优传输限制于质量守恒，新增质量变化因子$m(x,y)$描述运输中质量的增减。

- 该框架适用于建模运输过程中不可忽略的质量损耗或增值现象，如物流腐损、化学反应、经济中的关税影响。

• 以金融领域投资组合再平衡为主要动机，交易成本导致资产价值损失，需新型最优传输模型处理。

投资组合再平衡问题与非保守性最优传输对应关系 [page::2][page::8][page::9][page::10]

• 将组合各资产持仓权重表示为原始分布$\mu$，目标权重为$\nu$，通过传输计划$\pi$实现调仓。

- 交易成本导致资产价值损失，传统OT中质量守恒约束不满足，故引入质量变化函数$m(i,j) = \frac{qj}{qi} P_{(i,j)}$来度量资产间价值转换比例。

• 优化问题调整为非保守性最优传输问题，约束变为第一边边缘为$\mu$，第二边边缘为质量加权后归一化的$\nu$。

- 命题2.21论证了最优组合再平衡交易和非保守性OT解的等价性，实现问题转换。

非保守性最优传输Kantorovich问题的理论建立 [page::11][page::12][page::13]

• 定义非保守Kantorovich问题(KP)，解决在指定的边缘约束与质量变化因子下最小化运输成本。

- 证明在连续有界条件下问题存在最优解（定理3.3）。

• 举例阐释如渗漏桶模型中质量按时间线性或指数衰减，说明模型适用多种物理及经济场景。

非保守最优传输问题的对偶理论和强对偶性 [page::14][page::15][page::16][page::17][page::18][page::19][page::20]

• 推导对应的对偶问题(DP)，定义对偶可行域$\mathscr{A}$，涉及潜在函数满足对偶约束。

- 证明在紧空间及正则性假设下存在对偶最大值解（定理3.13）。

• 利用Fenchel-Moreau定理证明强对偶性成立 (定理3.17)，经典OT对偶理论得以推广。

最优传输映射的存在性分析与典型情形 [page::20][page::21][page::22][page::23][page::24][page::25][page::26][page::27]

• 定义原始及对偶的最优传输映射概念，阐述映射存在的判据。

- 在扰动（质量变化因子接近1）情形下，若成本函数满足光滑凸性，存在唯一最优传输映射（命题3.23）。

• 对二次型渗漏Monge问题，质量变化因子非平凡且保持正值，也能保证最优映射存在性（命题3.25）。

- 特征方程(25),(28)刻画映射的唯一性和构造方法。

非保守最优传输的动态表述及其与经典Benamou-Brenier公式的联系 [page::28][page::29][page::30][page::31]

• 定义动态框架中受控向量场$v(t,x)$与流动映射$X(t,x)$及质量变化因子$m(x,y)$的关系。

- 建立等价定理，证明动态和静态最优解一致（命题3.28）。

• 推导欧拉描述下的连续性方程附加项以体现质量变化源项$\sigma$，呈现非保守效应。

与现有最优传输变体比较 [page::31][page::32][page::33][page::34]

• 与非平衡最优传输(UKP) 对比：UKP固定边缘质量较(KP)中边缘质量比例可变，KP可被视为UKP的一族问题优化。

- 与熵正则最优传输对比：KP的第二边缘为质量加权归一后分布与熵正则使用的熵惩罚不同，KP构造较直接。

• 与非归一化最优传输区分：后者通过向连续方程加入质量创造/消失正则项，而KP无此额外正则，更贴近经典OT模型。

金融市场投资组合再平衡问题的存在性证明及线性规划结构 [page::35][page::36][page::37][page::38][page::39][page::40]

• 构造性证明一般市场下存在满足目标比重的可行交易方案，包含两阶段转化策略结合路径分解实现多资产间交易。

- 通过引理A.1证明问题可转化为线性规划且有界，保证最优交易存在。

• 命题2.21给出交易方案与非保守性OT解之间的双向映射，进一步巩固两问题等价性。

典型插图说明投资组合的资产分布及再平衡示意 [page::5][page::8]

专题解析报告：《Non-conservative optimal transport》

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1. 元数据与概览

• 标题：Non-conservative optimal transport

- 作者：Gabriela Kovácová, Georg Menz, Niket Patel

• 发布日期：2025年10月7日

- 主题：提出并研究了一类扩展的最优传输问题，即非守恒最优传输（Non-conservative Optimal Transport，NCOT），允许运输质量过程中存在质量的增减，主要由金融数学中的投资组合再平衡问题启发而出。

• 核心论点及目标：

- 扩展传统最优传输模型，允许质量（质量可以看作概率质量、质量或投资组合价值）在从一个源点输送到目标点的过程中产生损耗或增长，定义了质量变化系数 \( m(x,y) \) 来对这些变化进行建模；
- 证明了此类非守恒最优传输问题在一般条件下的存在性和强对偶性，推导了最优映射的存在条件，给出了动态Benamou–Brenier形式的推广；
- 将该框架应用于投资组合再平衡问题，并分析了其他经济、物流与生物化学的潜在场景；
- 在理论和应用层面上提出了一个既涵盖传统最优传输，又能处理实际中交易成本等非守恒因素的统一数学模型。

作者的主要信息是在严格保留传统Kantorovich最优传输的基础上，通过引入质量变化因子和放宽第二边缘条件，成功地推广出一种新的传输模型，既保持了数学上的优良性质，又具有很强的实际意义。[page::0,1,2]

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2. 逐节深度解读

2.1 引言（Sections 1 & 2 Motivation）

• 传统最优传输的介绍与局限

传统Kantorovich最优传输关注于保持总质量守恒的两个概率测度之间的映射，要求耦合的两个边缘完全对应，即质量守恒的约束，这在不少实际场景（尤其带有交易成本的金融市场）中显得过于僵化。

• 动机：投资组合的再平衡问题

文章从投资组合最优再平衡问题引入，即投资者需要通过买卖多种资产使得组合达到预定的目标比例。交易中发生的费用（如买卖差价、手续费）导致资产总价值的损失，体现了“质量非守恒”，即投资组合总价值减少。这里，原始测度代表资产当前所占比例，目标测度是理想配置比例。由于损耗，简单的传统最优传输无法满足目标配置，导致系统不匹配。正因如此，引入了质量变化因子 \( m(x,y) \) 用于描述从资产 \(i\) 到资产 \(j\) 运输过程中价值的保留率。

• 关键数学公式

以测度 \(\mu\)（当前资产分布）和 \(\nu\)（目标资产比例）为例，定义一对耦合测度 \(\pi\) 和质量变化因子 \(m\)，传统边缘约束：

\[
\int \xi(x) \pi(dx,dy) = \int \xi(x) \mu(dx), \quad \int \zeta(y) \pi(dx,dy) = \int \zeta(y) \nu(dy)
\]

非守恒变换为：

\[
\int \xi(x) \pi(dx,dy) = \int \xi(x) \mu(dx), \quad \frac{\int \zeta(y) m(x,y) \pi(dx,dy)}{\int m(x,y) \pi(dx,dy)} = \int \zeta(y) \nu(dy)
\]

• 推理与假设

这种模型能够捕捉到质量在运输（资产交易）中损失或增长的现象，而不改变目标配置的概率形态，反映了实际中交易成本带来的价值损耗，且保持了目标分布的“形状”。这是该框架与已有未守恒最优输运框架的显著区别。

• 贡献清单

包括：金融数学中再平衡的例证、非守恒最优传输问题的新定义与存在性，双重问题和强对偶性证明、非守恒最优映射的存在，动态Benamou–Brenier形式推广等。[page::1,2]

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2.2 金融数学中的投资组合再平衡模型（Section 2）

• 金融市场建模

采用加权有向图 \(\mathcal{G}=(V,E,P)\) 建模市场结构。顶点为资产，边表示可直接交易的资产对。权重 \(P{(i,j)}\) 表示1单位资产 \(i\) 可换取多少单位资产 \(j\)。

• 基础假设：

- 连通性：图连通、不同资产之间可达；
- 无套利条件：所有有向环的价格乘积不超过1，防止无风险套利；
- 假设无限流动性、无价格冲击（适合小规模交易）；
- 初始无交易费用的理想假设（后续可将费用并入价格差等）。

• 资产价格一致性

定义一致价格向量 \(\mathbf{q}\)，满足 \(P{(i,j)} \leq qi/qj\)，保证市场价格的一致性和无套利。

• 交易代理 \(\xi\)

函数 \(\xi: V \times V \to [0,\infty)\)，表示从资产 \(i\) 交易到资产 \(j\) 的单位数。其中，用于买卖的数量约束了组合的变化。

• 交易成本与目标

交易成本 \(C(\xi) = - \sum qi \Delta xi(\xi)\)，目标是使更新后组合 \(\mathbf{x} + \Delta \mathbf{x}(\xi)\) 的价值分布符合预期比例 \(\nu\)，并使交易成本最小。

• 重新表述为最优化问题

\[
\min{\xi \in \Xi(\nu)} C(\xi) \quad s.t. \quad xi + \Delta xi(\xi) \geq 0, \quad \frac{qi(xi + \Delta xi(\xi))}{\sum qk (xk + \Delta xk(\xi))} = \nui.
\]

• 存在性证明

该问题转化为线性规划且约束集非空（因构造了可行解），因此在规范假设下存在最优解。

• 对应非守恒OT的转换

将投资组合再平衡问题映射到离散空间的非守恒最优传输问题，定义：

\[
\mui = \frac{qi xi}{\sumk qk xk}, \quad c(i,j) = \begin{cases} 0 & \text{if } i=j \\ 1-\frac{qj}{qi} P{(i,j)} & \text{if } (i,j) \in E \\ \infty & \text{otherwise} \end{cases},
\]

\[
m(i,j) = \frac{qj}{qi} P{(i,j)}.
\]

其中 \( \pi(i,j) \) 表示从资产 \(i\) 到资产 \(j\) 运输（交易）的价值比例，传输框架中允许损失（由 \(m(i,j) < 1\)）体现。该映射关系严格建立了两问题之间的等价性（命题2.21）。

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2.3 非守恒最优传输问题定义与性质（Section 3）

• 非守恒传输计划

扩展传统传输计划定义，允许第二边缘为目标测度 \(\nu\) 的比例分布而非精确等于 \(\nu\)，通过

\[
\Gammam(\mu, \nu) := \{\pi ~|~ \mathrm{Proj}1 \

\pi = \mu, \quad \frac{\mathrm{Proj}2 \# (m \pi)}{\int m \,d\pi} = \nu \}.

\]

• 非守恒Kantorovich优化问题

\[
\inf{\pi \in \Gammam(\mu, \nu)} \int c(x,y) \pi(dx, dy).
\]

• 存在性定理

只需 \(c\) 下半连续且有界下方，\(m\) 连续且有界，存在最优传输计划 \(\pi^*\)。

• 非唯一性说明

若 \(m\) 在某个距离 \(C\) 以外为零，则无法把一些源端质量运输至支持在\(\nu\)上的目标点，此时最优解可能非唯一。

• 样例说明：

- 泄漏沙堆问题：质量在运输中线性或指数损失，恰可用 \(m(x,y) = \max(0,1 - k d(x,y))\) 或 \(m(x,y) = \exp(-k d(x,y))\) 表示。
- 经济学应用：包含关税、工人流失率等，通过质量变化函数模拟税率或离职比例。

• 双重问题导出与存在性

推导非守恒最优传输的对偶问题，设对偶函数对 \((\varphi, \psi)\) 有如下约束：

\[
c(x,y) \geq \varphi(x) + \left(\psi(y) - \int \psi(b) \nu(db) \right) m(x,y).
\]

并证明该对偶问题最大值存在。该对偶与经典OT对偶有类似结构但非对称，反映目标测度仅为比例约束的性质。

• 强对偶性

在紧空间和正质量变化系数条件下，利用Fenchel–Moreau定理证明原问题和对偶问题的强对偶，即最小值等于最大值。

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2.4 最优传输映射的存在性（Section 3.4）

• 定义

引入原始和对偶最优传输映射的概念：一个传输计划能由映射函数产生时，满足适当的支持条件。

• 判据

当支持集为 \(\{(x,T(x))\}\) 或 \(\{(S(y), y)\}\) 时，映射存在。

• 扰动邻域内的结果

当质量变化因子 \(m \approx 1\) 时，经典OT理论技巧可扩展至非守恒情况，保证存在且唯一最优映射。

• 非扰动例子

使用二次代价与二次损失因子，仍可证明存在最优传输映射（命题3.25），通过对特征方程解析，证明对于每个起点确定唯一终点。

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2.5 动态Benamou-Brenier形式推广（Section 3.5）

• 动态表述

质量沿时间连续移动的路径被一个向量场 \(v(t,x)\) 支配，满足带有\(m\)的边缘约束：

\[
(X(1, \cdot)){\sharp} \left( \frac{m(\cdot, X(1,\cdot))}{\int m(x,X(1,x)) \mu(dx)} \mu \right) = \nu,
\]

其中 \(X(t,x)\) 为流线解。

• 动静态等价

证明在存在最优传输映射 \(T\) 情况下，动态问题与静态非守恒OT问题等价。

• Eulerian形式

推导出密度满足的PDE：

\[
\partialt \varrho + \nabla \cdot (v \varrho) = \sigma,
\]

其中源项 \(\sigma = \varrho \nablax \log m(x,y) \cdot v\) 表征质量的创造或毁灭。

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2.6 与已有最优传输变体的比较（Section 4）

• Unbalanced OT

视为允许质量非守恒的卷积流最优解，但二边缘总质量固定。作者提出的(KP)允许固定起点质量和目标质量“形状”，总质量可自由调整；

• Entropic OT

通过熵正则化引入质量软约束，(KP)问题的边缘为非严格约束，不直接包含于此，需要推广；

• Unnormalized OT

通过在连续性方程加上空间均质源项实现质量变换，且附带正则化，使两者不同于(KP)的无正则变分形式。

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3. 关键图表与图像深度解读

图1（第5页）

• 描述了无单一计价单位的金融市场，用加权有向图形式表示多国货币及交叉交易资产。
• 图中节点表示货币（USD、EUR、JPY等）及多市场资产，边代表直接可交易路径，权重为汇率或标价。
• 该图形象展示复杂多币种、多市场结构中资产流动，衬托理论中将市场视作图的建模。

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图2（第8页）

• 示意资产分布从当前组合（多个资产比例不均）再平衡到目标组合（均匀分配）。
• 直观表达非守恒OT在金融中的实际应用场景——交易成本导致组合价值丢失，需合理调配满足目标资产比例。

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图3（第26页）

• 为证明存在唯一解，展示二次泄漏Monge问题中线性函数和抛物线唯一交点的几何示意。
• 蓝线代表线性一侧，红曲线代表代价函数关系，两者唯一交点对应唯一最优映射。

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4. 估值分析

研究的是数学优化问题与最优传输之价，而非金融资产估值，这里“估值”解析定位于数学优化意义：

• 静态案例：最小化运输成本（含质量损失）；
• 双重对偶与强对偶：优化问题的对偶结构明确，极大方便求解和理论分析；
• 动态贝纳穆-布伦尼尔表述：提供了动态成本最小化的连续运动计划解释；转移成本参数\(a\)影响运输“路径平滑度”；
• 存在最优映射的判据基于成本函数凸性、质量变换系数连续性及小扰动条件，给出具体判定范围；
• 凸性条件与边界假设对唯一性和连续性起关键作用；
• 特殊模型（如二次代价和二次泄漏）被解析以说明非守恒传输仍有丰富结构，与传统OT对应。

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5. 风险因素评估

报告中未显式提出风险，但间接可推测以下潜在风险：

• 价格不一致性及无套利假设失效：模型依赖市场价格无套利前提，若遭遇极端市场环境，模型结构或失效；
• 交易成本假设简化：仅考虑线性或包含在报价中费用，固定费用或更复杂费用不在讨论内，实际会造成问题解调整；
• 有限流动性及价格冲击：假设无限流动性和无价格冲击，在大规模交易时难以成立，影响模型准确性；
• 质量变化函数模型限制：\(m(x,y)\)独立于运输量及路径，实际情况可能更复杂；
• 测度空间及连续性要求：紧致性等假设可能不满足，影响存在性和对偶性；
• 最优解非唯一性：若质量变化函数局限，可能产生解的多样性，增加实际决策复杂度；
• 再平衡目标的合理性及静态视角限制：在动态市场中静态模型缺乏普适性。

报告对风险无缓解方案，反而指出对动态模型以及价格影响等扩展的必要，提示该模型适合中小规模、短期固定再平衡。

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6. 批判性视角与细微差别

• 优点

- 提出简洁直接的非守恒OT模型，既保留了传统OT的数学性质，又可解释实际质量损耗，填补已有文献的空白；
- 数学论证完备，对偶性、存在性、动态表述和传输映射均展开细致；
- 金融数学中的实际例子让理论落地；

• 局限与假设敏感性

- 质量变化因子 \(m(x,y)\) 取值假设较强，忽略复杂传输路径和运输量依赖；
- 对价格模型静态、不考虑贪污市场、动态，导致部分现实风险未被捕获；
- 对边界条件和测度绝对连续假设限制了部分实际应用范围；
- 文中不探讨最优传输映射的正则性及稳定性问题，留待未来工作；
- 对于交易费用建模仅停留在简单转换，不适用于交易费用复杂非线性场景；

• 内部细节

- 非守恒OT中第二边缘约束的“比例”形式破坏了传统OT对称性，造成对偶问题中存在非对称特征，需警惕在具体应用推断中的不明显偏差；
- 动态模型依赖于存在最优映射的假设，然而映射是否存在是需要额外证明的小难题；
- 尽管证明了存在性，实际计算中如何高效求解该类非守恒OT未深入展开；

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7. 结论性综合

本文从投资组合再平衡的实际需求引出对传统最优传输模型的两点重要扩展：引入质量变化因子 \( m(x,y) \) 以描述运输过程中的质量非守恒现象，及放宽第二边缘约束使所得目标仍保持“形状”，但总质量可变。该非守恒最优传输（NCOT）模型在理论上继承了Kantorovich最优传输的优点：

• 存在性：非守恒输运计划存在，证明基于传统测度弱收敛及质量变化因子的连续有界性；

- 强对偶性：构建并证明对偶问题，确保原问题解的可获取性；

• 最优映射：在扰动和特定损耗函数形式下，存在唯一的最优映射，闭合了理论链条；

- 动态Benamou-Brenier推广：提供了质点随时间动态移动的模型，为实际中的动态再平衡提供路径。

金融市场的抽象建图模型与概率测度形式自然融合，再平衡问题重写为非守恒OT最优化，完美契合商业实际。图1和图2分别揭示了多币种复杂交易市场结构及组合配置变化的直观图示，帮助理解理论背后的经济含义。图3通过几何函数图示辅助论证映射唯一性。

与现有诸多“非守恒”最优传输框架（如未平衡OT、熵正则化OT、非归一OT等）相比，本文模型结构更贴近传统OT，理论与算法相对简洁，适合当前实际金融场景，虽然牺牲了部分一般性。

总的来看，本文构筑了一个兼具理论深度和应用价值的非守恒最优传输框架，推动了OT理论向更加符合现实经济条件的方向发展，为金融资产配置以及更广泛的物流、生化模型中考虑多种复杂质量损耗提供了坚实的数学基础，具有开创性意义。[page::0-40]

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参考几个重要公式（便于理解）

1. 非守恒边缘条件

\[
\iint{A \times \mathcal{Y}} \pi(dx, dy) = \mu(A), \quad \forall A \subset \mathcal{X}
\]
\[
\frac{\iint{\mathcal{X} \times B} m(x,y) \pi(dx, dy)}{\iint{\mathcal{X} \times \mathcal{Y}} m(x,y) \pi(dx, dy)} = \nu(B), \quad \forall B \subset \mathcal{Y}
\]

1. 非守恒Kantorovich问题

\[
\inf{\pi \in \Gammam(\mu, \nu)} \iint c(x,y) \pi(dx, dy)
\]

1. 对应对偶约束

\[
c(x,y) \geq \varphi(x) + \left(\psi(y) - \int \psi \, d\nu\right) m(x,y), \quad \forall (x,y)
\]

1. 动态流表达（Benamou-Brenier）

\[
\min{v(t,x)} \int0^1 \int |v(t,X(t,x))|^a \mu(dx) dt
\]
subject to
\[
(X(1,\cdot)){\sharp}\left( \frac{m(\cdot,X(1,\cdot))}{\int m(x,X(1,x)) \mu(dx)} \mu \right) = \nu
\]

1. 金融中的成本函数与质量变化系数

\[
c(i,j) = 1 - \frac{qj}{qi} P{(i,j)}, \quad m(i,j) = \frac{qj}{qi} P{(i,j)}
\]

以上详细解析提供了从理论到应用，从静态到动态，从单纯传输到经济交易的完整逻辑脉络，助力深刻领会本篇报告的科学价值和创新点。

报告